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1、1.复平面对,定义(1.1)根据(1)式可以决定(x,y)的乘法,C上的矢量线性运算(加法和数乘)与(1)决定的乘法叫做复数运算.如果令1=(1,0),i=(0,1),则对复数z=(a,b),可以写成z=a+ib,故(1.2)故把z叫做复数,C叫做复数集.此外,对两个复数可以定义数量积和向量积对z=x+yi,记x=Rez,y=Imz叫做z的实部和虚部.注意z的实部和虚部都是实数.令,,叫做z的模长和辐角.Argz中有无数个数值,取内的值叫做主辐角,记作argz.则引入记号(1.3)叫做Euler公式
2、,那么一个复数就可以写成极坐标形式(1.4)那么复数的乘除就可以简单的化简为(1.5)如果在复平面C上构造空间坐标系使得轴与Re轴重合,轴与Im轴重合,则有Riemann球面.取N(0,0,1),对z=x+iy=(x,y,0),连接Nz,,则构造了一个映射,这个映射叫做球极投影.根据直线的向量式参数方程可以写出射线Nz的方程:.由此并且可以得到逆变换如果建立球坐标,令t为Z的经度,s为Z的纬度,则由此构造双射.补充定义并记,则也是双射.下面看复平面的拓扑.对C,距离可以定义为
3、z-z0
4、,而对Rie
5、mann球面则可以用球面距离定义(1.6)由于对圆盘有则在C上与等价.由此可以定义邻域的概念(1.7)于是类似就可以类似于实变函数一样定义C的拓扑.在拓扑的基础上可以定义极限的概念,对复数列,如果存在点a∈C使得使得a在C上的任意邻域内都包含序列{an}的无数个点,则.明显(1.8)此外我们会用到集合的距离从区间[α,β]到C的映射[α,β]→C叫做一条道路,如果两条道路等价,则要求(1)道路与道路的像相同(2)存在从道路的定义域到道路的定义域的可逆函数则道路.对道路,积分(1.9)叫做道路γ的长度
6、,ds叫做γ的弧微分.根据(1.9)式,很明显函数(1.10)这个函数叫做道路γ的切向量或导数.根据这种定义,很容易得到类函数的概念,其中.如果道路不自相交,则道路叫做Jordan道路.同理可以定义Jordan曲线的概念.与Rn拓扑类似,把一个连通的开集D叫做区域,集合叫做D的边界.注意D为开集,则.如果集合K可以表示为区域D与其边界∂D的并,则K叫做闭区域.此外,若存在区域D使得集合S满足,则S叫做广义区域.明显,区域和闭区域都是广义区域的特例.对广义区域S,令叫做S的边界,内部和闭.下面的区域都
7、是广义区域.如果区域S是不连通的,若S能够分成n个连通区域的并,且这些区域不被S的其他连通区域包含,则这些区域叫做S的连通分支.如果S是连通的,∂S也连通,则S叫做单连通的,否则:若有n为连通分支,则S叫做n连通的;若,则S叫做无限连通的.如果区域S的闭为区域K的子集,则称S紧闭于K,记作.复数在物理中应用广泛,下面考虑几个例子.首先,考虑一个齐次的振动系统,其微分方程为(1.11)取x=expλt,代入得到物理上把叫做阻尼系数,叫做本征角频率,叫做本征频率.令叫做真实频率,上式的解为,下面讨论这个
8、解.当时,用辅助角公式化简这是一个递减的正弦函数.当时方程(1.11)的解为这是一个递减的指数函数与一个一次函数的乘积,当时解就变成了指数函数,这就不是振动了.再比如说RLC电路方程(1.12)其中:R——电阻,L——电感,C——电容,Q——电量,t——时间,——电动势(电源电压).这个方程中令后化简成也变成了方程(1.11)的样子.Euler公式在物理中可以表示一种用复数和复平面上的矢量表达的量,叫做相量.比如对交流电,可以用Euler公式写成,在物理中为了与电流强度区分开,通常把复数单位记作.我
9、们取复数,则可以用一个旋转矢量表示,其范数为,在极坐标下表示为.再比如说频谱分析中的Fourier级数,对周期为的信号输入,其Fourier展开为其中.如果我们把Euler公式代入的话,则级数变成这样形式就简洁很多.下面我们用线性空间来表示Fourier函数系,首先我们知道令,则V是一个无限维的线性函数空间,叫做三角函数系.在V上定义内积为那么函数f(x)的Fourier变换可以写成且下面我们用一种新的角度看Fourier级数.对信号f(t),令则构造了映射,叫做Fourier变换.明显,其逆变换为
10、下面看看Fourier变换的性质,比如信号,其Fourier矢量为,容易算出其Fourier变换为这种分段的情况叫做离散谱.我们定义一个函数注意这里S为开区间,则f(t)的Fourier变换可以写成函数叫做Dirac的δ函数.再比如反正切信号的Fourier变换为是一个虚数.在给出的几个Fourier变换的例子中可以看出,Fourier变换给出了信号在不同频率的信号强度,所以我们把信号的Fourier变换叫做频谱.信号的原形式是一个关于时间的函数f(t),叫做时域信号
