复变函数第1讲x.ppt

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1、复变函数与积分变换主讲教师：吕巍然中国石油大学数学学院1复变函数与积分变换主要内容：1.复变函数自变量为复数的函数（在高等数学中，我们研究的是自变量和因变量均为实数的函数，因而也称之为实变函数）.主要包含复数与复变函数；解析函数；复变函数的积分理论；级数理论；留数理论及其应用；共性映射等.2.积分变换主要包括傅立叶变换和拉普拉斯变换.2序言预备知识、参考书主要用到高等数学的相关知识.1.西安交通大学复变函数2.南京工学院积分变换3.祝同江积分变换4.钟玉泉复变函数论学习进度、建议3序言复数的引入及其发展过程：16世纪中叶，意

2、大利人Cardano在解代数方程时，首先产生了负数开平方的思想.例如，解简单的方程x2+1=0时就会遇到－1开平方的问题.为了使负数开平方有意义，需要再一次扩大数系，于是就引进了虚数，使实数域扩大到复数域.然而，一开始人们对复数的认识仅仅在于一种形式上的表示，用它们进行计算时还有一些矛盾产生.例如后面要介绍莱布尼兹和贝努利的一个悖论.4怪杰卡丹诺(GirolamoCardano;15011576)一个多才多艺的学者一个放荡不羁的无赖他精通数学、医学、语言学、天文学、占星学一生充满传奇，人们称他为「怪杰」.51545年，卡丹

3、诺在他的著作《大术》（ArsMagna）中，介绍了解三次方程的方法.从此，解三次方程的方法，就被称为「卡丹诺公式」.6卡丹诺公式解方程公式：例1解x3+6x=20注意：m=6、n=20x==27解方程公式：例2解x3=15x+4注意：m=15、n=4x=（无解）但非常明显，x=4是方程的一个解！为什么？8虚数笛卡尔（RenéDecartes;15961650）法国著名的哲学家坐标几何的创始人1637年，他称一个负数的开方为虚数(imaginarynumber)但他不承认虚数是数字的一种.9序言复数在历史上的很长一段

4、时间内被人们视为不可接受的虚数.直到十七和十八世纪，有两个主要原因促使了这种状况的改变：1.微积分的发展；2.复数与平面向量联系起来解决实际问题.关于复数理论最系统的叙述，是由瑞士数学家欧拉作出的.他在1777年系统地建立了复数理论，发现了复指数函数和三角函数间的关系，创立了复变函数论的积分理论等.10序言复变函数理论的重要意义十九世纪，复变函数的理论经过Cauchy、Riemann和Weierstrass的巨大努力，已经形成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到数学学科的许多分支.复变函数理论及方法在数学及工程技术中有着广泛的

5、应用.比如，在复变函数理论最先得到成功应用的流体力学、电磁学、平面弹性力学这三个领域中，复变函数方法已经发展成为解决有关问题的几种经典方法之一.11第一章复数与复变函数主要内容1、复数及其表示方法2、复数运算3、平面点集4、复变函数的连续性12注:(1)两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相同；(2)两个复数之间无法比较大小，除非都是实数.§1复数及其四则运算1、复数的概念其中实部虚部共轭13加、减：乘法：注:2、复数的四则运算除法：14容易证明:复数的运算满足分配律、交换律、结合律.另外，还经常用到以下性质：例如，设提示：

6、15§2复数的表示法1.复平面基于这样一种原因，我们把此时的坐标平面称为复平面.16称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值；以正实轴为始边,以为终边的角的度数称为复数z=x+iy的辐角(z≠0).OxyxyqPz=x+iy

7、z

8、=r17显然把其中满足的θ0称为辐角Argz的主值，记作θ0=argz.Argz=θ=θ0+2kπ，k为整数.18复数向量表示的重要意义：能够将代数问题化为几何问题，从而使问题变得直观,由此立即得到下面不等式：还容易看出oxy(z)z1z2z1+z2z2-z1192、复数的三角表示根据上式称为复数

9、的三角表示.Oxy可以得到3、复数的指数表示由欧拉公式可以得到复数的指数表示式:20xyONSzP(z)z球面上的点,除去北极N外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们可以用球面上的点来表示复数.4.复球面用来表示复数的这个球面称为复球面.全体复数与复球面-{N}成一一对应关系.21因而球面上的北极N就是复数的几何表示.xyONSzP(z)z扩充复平面的定义规定:北极N与一个模为无穷大的假想的点对应.这个假想的点称为“复数无穷远点”记作.复平面加上后称为扩充复平面，记作C22这样，球面上的每一个点，就有唯

10、一一个复数与它对应，这样的球面称为复球面.把包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面，不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面，或就称复平面.对于∞来说,实、虚部与辐角的概念无意义，其模为｜∞｜＝＋∞，对于其它复数z,则有｜z｜<+∞.23例1.下列方程各表示什么曲线？4）写出直线的复数形式