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1、§3复数的乘幂与方根1、乘积与商因此
2、z1z2
3、=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2.注意其几何意义.1结论两个复数的商的模等于它们的模的商，两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.22、幂与根2.1定义z的n次幂：则有—---棣美弗公式.2.2定义z的n次根：若有wn=z,则称w为z的n次根，记为定义3如何求z的n次根呢？4注：1．任一非零复数开n次方，有且仅有n个不同的根；2．它们均匀分布在以原点为中心，r1/n为半径的圆周上.xyo5例2.例1.67§4区域，单连通，多连通1、区域的概念1.1邻域：复平面上以z0为中心，半径为δ的圆内所有点组成的集
4、合称为z0的一个邻域,记为去心邻域：由不等式0<
5、z-z0
6、<δ所确定的点集。以下设G为一平面点集.1.2内点为G中一点，若存在的某个邻域，该邻域内的所有点都属于G，则称为G的一个内点.81.3开集若G内的每一点都是内点，则称G是开集.连通是指1.4区域设D是一个开集，且D是连通的，称D是一个区域.D-区域内点外点1.5边界与边界点已知点P不属于D，若点P的任何邻域中都包含D中的点及不属于D的点，则称P是D的边界点；D的所有边界点组成D的边界.P91.6闭区域:区域D与它的边界一起构成闭区域或闭域，记作.1.7有界域与无界区域：如果区域D可以包含在一个以原点为中心的圆里面，则称
7、D为有界的；否则称为无界的.例如表示一个闭区域.例如102、简单曲线（或Jordan曲线)令z(t)=x(t)+iy(t)a≤t≤b;则曲线方程可记为：z=z(t)，a≤t≤b有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线.2.1112.2重点设连续曲线C：z=z(t)，a≤t≤b，对于t1∈(a，b),t2∈[a,b],当t1≠t2时，若z(t1)=z(t2)，称z(t1)为曲线C的重点.2.3定义称没有重点的连续曲线C为简单曲线或Jordan曲线;若简单曲线C满足z(a)=z(b)时，则称此曲线C是简单闭曲线或Jordan闭曲线.z(a)=z(b)简单闭曲线z(t1)=z(t2)
8、不是简单闭曲线123.单连通域与多连通域2.4简单闭曲线的性质任一条简单闭曲线C：z=z(t)，t∈[a，b]，把复平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有界区域，称为C的内部；一个是无界区域，称为C的外部；还有一个是它们的公共边界.z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)内部外部边界定义复平面上的一个区域B，如果B内的任何简单闭曲线的内部总在B内，就称B为单连通域；非单连通域称为多连通域.13例
9、z
10、<1是单连通区域；而
11、z
12、>1是多连通区域.注：1.多连通区域的一个显著特点：内部含有洞或裂缝.2.任一简单闭曲线将复平面分为内、外两部分，内部单连通，外部多连通.3.属于单连通
13、区域D内的任何一条简单闭曲线，在D内可以经过连续的变形而缩成一点.单连通区域多连通区域14§5复变函数的极限与连续性1、复变函数的定义定义设G是一个复数z=x+iy的集合,如果有一个确定的法则存在,按照这一法则,对于集合G中的每一个复数z,就有一个或几个复数w=u+iv与之对应,则称复变数w是复变数z的函数(简称复变函数),记作：w=f(z).如果z的一个值对应着w的一个值,则函数f(z)是单值的;否则就是多值的.集合G称为f(z)的定义集合,对应于G中所有z对应的一切w值所成的集合G*,称为函数值集合.15在以后的讨论中,定义集合G常常是一个平面区域,称之为定义域,并且,如无
14、特别声明,所讨论的函数均为单值函数.由于给定了一个复数z=x+iy就相当于给定了两个实数x和y,而复数w=u+iv亦同样地对应着一对实数u和v,所以复变函数w和自变量z之间的关系w=f(z)相当于两个关系式:u=u(x,y),v=v(x,y),它们确定了自变量为x和y的两个二元实变函数.16如:2、映射：映射是现代数学中的一个常用概念.ABab。。定义：若对集合A中的任一元素a，按照某种对应关系f，总有集B中的元素b相对应，则称f是集合A到集合B的一个映射，记为f:a→b，a、b分别称为映射的原象和象.17oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在几何上，w=f(z)可以看
15、作：定义域函数值集合zw=f(z)w18例1考察的映射性质.解：记原象点，则象点因此，象点与原象点相比，模是原来的平方，幅角是原来的二倍.除此而外,我们还不难发现，这一映射还具有这样的特性：将顶点在原点的角形域映成角形域，只不过夹角扩大为二倍.如：将z平面第一象限映成w平面一、二象限,即上半平面;将单位圆映成单位圆.所以在该映射下,19图示oxy(z)ouv(w)oxy(z)ouv(w)R=2R=420例2.函数把z平面上的曲线映成w平面什么曲线?解：原曲线的方程为：记则----这就是象曲线
