复变函数(西交大)第五讲

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1、第五讲原函数与不定积分Cauchy积分公式解析函数的高阶导数1.原函数与不定积分的概念2.积分计算公式§3.4原函数与不定积分1.原函数与不定积分的概念由§2基本定理的推论知：设f(z)在单连通区域B内解析，则对B中任意曲线C,积分∫cfdz与路径无关，只与起点和终点有关。当起点固定在z0,终点z在B内变动,∫cf(z)dz在B内就定义了一个变上限的单值函数，记作定理设f(z)在单连通区域B内解析，则F(z)在B内解析，且定义若函数(z)在区域B内的导数等于f(z)，即,称(z)为f(z)在B内的原函数.上面定理表明是f(z)的一个原函数。设H(z)与G(z)是f(

2、z)的任何两个原函数，这表明：f(z)的任何两个原函数相差一个常数。(见第二章§2例3)2.积分计算公式定义设F(z)是f(z)的一个原函数，称F(z)+c(c为任意常数)为f(z)的不定积分，记作定理设f(z)在单连通区域B内解析，F(z)是f(z)的一个原函数，则此公式类似于微积分学中的牛顿－莱布尼兹公式.但是要求函数是解析的,比以前的连续条件要强例1计算下列积分：解1)解2)例3计算下列积分：小结求积分的方法利用Cauchy-Goursat基本定理在多连通域上的推广,即复合闭路定理,导出一个用边界值表示解析函数内部值的积分公式,该公式不仅给出了解析函数的一个积分表达

3、式，从而成为研究解析函数的有力工具，而且提供了计算某些复变函数沿闭路积分的方法.内容简介§3.5Cauchy积分公式分析DCz0C1DCz0C1∴猜想积分定理(Cauchy积分公式)证明一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.例1解例2解CC1C21xyo例3解内容简介本节研究解析函数的无穷次可导性，并导出高阶导数计算公式。研究表明：一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各阶导数，它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示。这一点与实变函数有本质区别。§6解析函数的高阶导数形式上，以下将对这些公式的正确性加以证明。定理证明用数学归纳法和导数定义。令为I依次类推，用数学

4、归纳法可得一个解析函数的导数仍为解析函数。例1解作业P1007(3)(5)(7)(9)8(1)(2)9(3)(5)