一元函数积分学经典习题.pdf

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1、一.求下列不定积分:1.解.2.解.3.解.方法一:令,=方法二:==二.求下列不定积分:1.解.=2.解.令x=tant,=3.解.令=4.(a>0)解.令=5.解.令====6.解.令=三.求下列不定积分:1.解.2.解.令,=四.求下列不定积分:1.解.==2.解.五.求下列不定积分:1.解.2.解.=3.解.4.解.六.求下列不定积分:1.解.=====2.解.=3.解.七.设,求.解.考虑连续性,所以c=－1+c1,c1=1+c八.设,(a,b为不同时为零的常数),求f(x).解.令,,所以=九.设当x0时,连续,求.解.==+－=+c.十.设,求f

2、(x).解.令,所以所以十一.求下列不定积分:1.解.令=2.解.令=3.解.+=－=4.(a>0)解.======十二.求下列不定积分:1.解.=2.解.===一．若f(x)在[a，b]上连续,证明:对于任意选定的连续函数(x),均有,则f(x)0.证明:假设f()0,a<0.因为f(x)在[a，b]上连续,所以存在>0,使得在[－,+]上f(x)>0.令m=.按以下方法定义[a，b]上(x):在[－,+]上(x)=,其它地方(x)=0.所以.和矛盾.所以f(x)0.二.设为任意实数,证明:=.证明

3、:先证:=令t=,所以=于是=所以=.所以同理.三．已知f(x)在[0，1]上连续,对任意x,y都有

4、f(x)－f(y)

5、

6、x－y

7、,证明证明:,四.设,n为大于1的正整数,证明:.证明:令t=,则因为>0,(00,证明:对于满足0<<<1的任何,,有证明:令(x),.,(这是因为t,x,且f(x)单减).所以,立即得到六.设f(x)在[a,b]上二阶可导,且<0,证明:证明:x,t[a,b],令,所以二边积分=.七.设f(x)在[0,1]上连续,且单

8、调不增,证明:任给(0,1),有证明:方法一:令(或令),所以F(x)单增;又因为F(0)=0,所以F(1)F(0)=0.即,即方法二:由积分中值定理,存在[0,],使;由积分中值定理,存在[,1],使因为.所以八.设f(x)在[a,b]上具有二阶连续导数,且,证明:在(a,b)内存在一点,使证明:对于函数，用泰勒公式展开：t,x[a,b]=(1)(1)中令x=a,t=b,得到(2)(1)中令x=b,t=a,得到(3)(3)－(2)得到于是=注:因为需要证明的等式中包含,其中二阶导数相应于(b－a)的三次幂,所以将泰勒展开;若导数的阶数和

9、幂指数相同,一般直接将f(x)泰勒展开.九.设f连续,证明:证明:=所以2即十.设f(x)在[a,b]上连续,在[a,b]内存在而且可积,f(a)=f(b)=0,试证:,(a0因为f(0)=f(1)=0x0(0,1)使f(x0)=(f(x))所以>（1）在（0，x0）上用拉格朗日定理在（x0,1）上用拉格朗日定理所以（因为）所以由（1）得十二．设f(x)在[a,b]上连续,且f(x)>0,则证明:将l

10、nx在x0用台劳公式展开（1）令x=f（t）代入（1）将上式两边取，最后一项为0，得十三.设f(x)在[0,1]上有一阶连续导数,且f(1)－f(0)=1,试证:证明:十四.设函数f(x)在[0,2]上连续,且=0,=a>0.证明:[0,2],使

11、f()

12、a.解.因为f(x)在[0,2]上连续,所以

13、f(x)

14、在[0,2]上连续,所以[0,2],取使

15、f()

16、=max

17、f(x)

18、(0x2)使

19、f()

20、

21、f(x)

22、.所以一.计算下列广义积分:(1)(2)(3)(4)(5)(6)解.(1)(2)(3)因为,所以积分收敛.所以=2(4)(5

23、)(6)