地图的数学基础.doc

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1、地图的数学基础TomXu中国地质大学（北京）土地学院March,2006序1.地球体1.1地球的自然表面1.2地球的物理表面1.3地球的数学表面2.坐标系与高程系2.1坐标系2.2高程系2.3卫星定位技术3.地图比例尺3.1地图上标注的地图比例尺的形式3.2地图的比例尺系统4.地图投影4.1地图投影的实质4.2地图投影的变形4.3地图投影的分类4.4地图投影的选择4.5地图投影的变换5.地图定位5.1地形图的定位5.2小比例尺地图的定位序地图的数学基础,是指使地图上各种地理要素与相应的地面景物之间保持一定对应关系的经纬网、坐标网、大地控制点、比例尺等数学要素。为了解地图上

2、这些数学要素是怎么建立起来的，首先必须搞清楚地球是一个怎样的形体。然后，便引出另一个问题：地球是圆的还是平的？空间采取什么样的方法，才能将球面的景物精确地描绘到平面图纸上？这是地图学要解决的第一个矛盾，从而引出经纬网、坐标网和大地控制点的概念。而讨论这些内容的目的，是要解决球面上点位的坐标，与图面上相对应点位的坐标，如何建立起严格的一一对应的函数关系。这就是地图投影要回答的问题。地图是地面景物的缩小表示。将地球表面的景物描绘到地图面上，遇到的第二矛盾是大与小的矛盾，要解决这个矛盾，必须将地面景物依照一定的比率进行缩小表示。这就是比例尺所要解决的问题。1.地球体1.1地球的

3、自然表面人类很早就很关注自己世代繁衍生息的场所，但由于古代的科学技术不发达，人类对自己生活空间的认识曾相当局限。如早在我国春秋时期（公元前770~476年），就曾有“天圆地方说”，后来称之为“盖天说”。后汉时期的张衡（公元79~139年）创立了“浑天说”，提出了大地是球体的概念。古希腊学者托勒密在公元2世纪创立了“地心说”，也认为大地是个球形体，大地是宇宙的中心，其他星球均围绕大地运行。但是，对大地是球体的早期认识，应该归功于古希腊学者毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前580~前500年）和亚里斯多得（Aristotle，公元前384~322年），他们在两千多年前就

4、确信地球是圆的。但直到公元前200年，才由古希腊学者埃拉托色尼具体算出地球周长。从“天圆地方说”到如今利用人造地球卫星进行地球椭球休的精确测定，反映了随着科学技术的进步，人们对大地形状的认识也在不断前进。时至今日，人们早已接受地球是球体的结论，但是地球究竟是一个怎样的球体却并不是所有人都能准确回答的。通过天文大地测量、地球重力测量、卫星大地测量等精密测量，都提供了这样一个事实：地球并不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体。这里所谓的“梨形”，其实是一种形象化的夸张，因为地球南北半径的极半径之差仅在几十米范围内，这与地球固

5、体地表的起伏，或地球极半径与赤道之差都有左右相比，是十分微小的。况且，已经有证据表明，这种“梨形”还不一定会长期保持下去。1.2地球的物理表面由于地球表面自然表面凹凸不平，形态极为复杂，显然不能作为测量与制图的基准面。因此，应该寻求一种与地球自然表面非常接近的规则曲面，来代替这种不规则的曲面。这种理想的规则曲面，是一个与静止海平面相重合的水准面，这个海平面应该是无波浪、无潮汐、无水流、无大气压变化，处于流体平衡状态的平面。假想以这个水准面作为基准面向大陆延伸，并穿过陆地、岛屿，最终形成了一个封闭曲面，这就是大地水准面。但事实证明，大地水准面仍然不是一个规则的曲面。因为，当

6、海平面静止时，自由水面必须与该面上各点的重力线方向相正交，由于地球内部质量的不均一，造成重力场的不规则分布，因而重力线方向并非恒指向地心，导致处处与重力线方向相正交的大地水准面也不是一个规则的曲面。大地水准面实际上是一个起伏不平的重力等位面，即地球物理表面。由大地水准面包围的形体称大地体，是一种逼近于地球本身形状的一种形体。可以称为大地体对地球体的一级逼近。3地球的数学表面大地体是由大地水准面包围而成的，由于大地水准面是个不规则的曲面，因此它的表面仍然不能用数学模型定义和表达，必须寻求一个与大地体极其接近的形体来代替大地体。人们假想，可以将大地体绕短轴（地轴）飞速旋转，就

7、能形成一个表面光滑的球体，即旋转椭球体，或称地球椭球体。地球椭球体表面是个可用数学模型定义和表达的曲面，这就是我们所称的地球数学表面。地球椭球体表面可以称为对地球形体的二级逼近。测量与制图工作将以地球椭球体表面作为几何参考面，将大地体上进行的大地测量结果归算到这一参考面上。地球椭球体上有长轴和短轴之分。长轴（a）即赤道半径，短轴（b）即极半径。f=(a-b)/a称为地球的扁率。由此可见，地球椭球体的形状和大小取决于a，b，f。因此，称a，b，f为地球椭球体三要素，或称描述地球形状与大小的参数。当求得地球椭球体三要素值之后，必须