地图的数学基础(I)

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1、新编地图学教程第2章地图的数学基础§3地图投影3.1地图投影的意义地球椭球体表面是不可展曲面，要将曲面上的客观事物表示在有限的平面图纸上，必须经过由曲面到平面的转换。地图投影：在地球椭球面和平面之间建立点与点之间函数关系的数学方法，称为地图投影。x=f1(j,l)y=f2(j,l)地图投影的实质：是将地球椭球面上的经纬线网按照一定的数学法则转移到平面上。地图投影是在几何投影的基础上发展起来的平面球面F（，）＝f（x,y）地图投影的实质地图投影数学上的投影面1面2几何学－－透视原理承影面灯源物体（投）影物

2、体的形状、灯源的位置、以及承影面的形状都将影响投影的结果。从不规则的地球表面到制成地图，要经过两个过程。首先将地球自然表面上的点沿垂直方向投影到地球椭球面上，然后再将投影到椭球面上的点运用数学方法投影到某种可展面上。由球面到平面，必然会产生变形，在实际制图中，要根据不同要求和各种投影的特点选择合适的投影，减小投影变形。3.2地图投影变形1.投影变形的概念把地图上和地球仪上的经纬线网进行比较，可以发现变形表现在长度、面积和角度三个方面。2.变形椭圆取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响，把它当作平面看待

3、），它投影到平面上通常会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。3.投影变形的性质和大小长度比和长度变形：投影面上一微小线段（变形椭圆半径）和球面上相应微小线段（球面上微小圆半径，已按规定的比例缩小）之比。m表示长度比，Vm表示长度变形长度比是变量，随位置和方向的变化而变化。=0不变>0变大<0变小例题下列有关投影变形的叙述正确的是：（）A.只有等距投影，长度才不变形B.面积不变形，则长度也不变形C.角度不变形，则长度也不变形D.对某一地图投影来讲，不存在这种变形，

4、则必然存在另外一种或两种变形3.3地图投影分类1.按地图投影的构成方法分类（1）几何投影:将椭球面上的经纬线网投影到几何面上，然后将几何面展为平面。方位投影:以平面作投影面，使平面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。圆柱投影:以圆柱面作投影面，使圆柱面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱面展为平面而成。圆锥投影:以圆锥面作投影面，使圆锥面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。（2）非几何投影：根据某些条件，用数学解析法确定球面与平

5、面之间点与点的函数关系。伪方位投影：在方位投影的基础上，根据某些条件改变经线形状而成，除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。伪圆柱投影：在圆柱投影基础上，根据某些条件改变经线形状而成，无等角投影。除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。伪圆锥投影：在圆锥投影基础上，根据某些条件改变经线形状而成，无等角投影。除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。多圆锥投影：设想有更多的圆锥面与球面相切，投影后沿一母线剪开展平。纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在中央经线的延长线上。中央经线为

6、直线，其余经线投影为对称于中央经线的曲线。正轴切圆锥投影正轴割圆锥投影横轴切圆锥投影横轴割圆锥投影横轴切圆柱投影横方位投影正轴割圆柱投影斜轴切圆柱投影斜轴切圆锥投影正轴切圆柱投影正方位投影斜方位投影2.按地图投影的变形性质分类等角投影:投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面上相应两线段夹角相等，即角度变形为零ω=0（或a=b，m=n）面积变形最大。等积投影:投影面与椭球面上相应区域的面积相等，即面积变形为零Vp=0（或P=1，a=1/b）角度变形最大。任意投影:投影图上，长度、面积和角度都有变形，它既不等角

7、又不等积。其中，等距投影是在特定方向上没有长度变形的任意投影（m=1）。例题：1地图上某点的最大长度比为2，最小长度比为0.5，则该投影为：（）A.等距投影B.等角投影C.等积投影D.任意投影2用变形椭圆解释保持等角的条件是球面上任意微分圆投影到平面上之后是正圆，而保持等积的条件是变形椭圆的最大长度比和最小长度比互为。3若由赤道向两极变形椭圆的形状变化为短半径不变，长半径逐渐增大，则该投影的变形性质为：（）A.等积投影B.等角投影C.任意投影D.方位投影投影举例之方位投影：1、正轴方位投影经纬线形状：特点：

8、投影中心为极点，纬线为同心圆，经线为同心圆的半径，两条经线间的夹角与实地相等。等变形线都是以投影中心为圆心的同心圆。包括等角、等积、等距三种变形性质，主要用于制作两极地区图。适合制作：两极地区图2、横轴方位投影特点：平面与球面相切，其切点位于赤道上的任意点。特点：通过投影中心的中央经线和赤道投影为直线，其他经纬线投影后都是对称于中央经线和赤道的曲线。适合制作：赤道附近圆形区域地图经纬线形状：3、斜轴方位投影特点：