地图的数学基础

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1、第二章地图的数学基础【教学目的】通过本章教学，使学生理解并掌握地图投影的概念、投影变形及分析方法，主要投影类型、构成、变形分布及其应用，地图投影选择等。为学生正确地阅读和使用地图投影奠定扎实的理论基础。【重点难点】教学重点：地图投影的概念、主要投影类型、变形分析及其应用，地图投影的选择等。教学难点：地图投影的概念、投影变形分析等。第一节地球椭球体一、地球的自然表面地球的自然表面十分不规则。地球表面约有71％的面积为海洋，29%的面积是大陆与岛屿。陆地上最高点珠穆朗玛峰海拔高度为8844.43米，海洋中最深处在马里亚纳海沟为-11034米，两者相差近20

2、公里。地球的自然表面无法用数学公式表达，在量测与制图时，必须找一个规则的曲面来替代它。二、地球的物理表面当海洋静止时，它的自由水面必定与该面上各点的重力方向（铅垂线方向）成正交，我们把这个面叫做水准面。水准面有无数多个，但其中必然存在一个静止的、平均的海水面。设想这个静止的平均海水面穿过大陆和岛屿形成一个闭合的曲面，这就是大地水准面（图2-1）。大地水准面所包围的形体，叫大地球体。由于地球体内部质量分布的不均匀，引起重力方向的变化，导致处处和重力方向成正交的大地水准面成为一个不规则的、仍然是不能用数学表达的曲面。三、地球的数学表面大地水准面形状虽然十分

3、复杂，但从整体来看，起伏是微小的。它是一个很接近于绕自转轴（短轴）旋转的椭球体。所以在测量和制图中就用旋转椭球来代替大地球体，这个旋转球体通常称地球椭球体，简称椭球体。地球椭球体表面是一个规则的数学表面，它是测量与制图的基础。其大小、形状取决于长半轴，即赤道半径（a）、短半轴，即极半径（b）、扁率（f）。a、b、f也称为地球椭球体的元素值。其中：20由于推求年代、所用的方法以及测定的地区不同，地球椭球体的元素值有很多种。现将几个常用的地球椭球体元素值列于表2-1中。表2-1椭球体名称及元素值表我国在1952年以前采用海福特（Hayford）椭球体，从1

4、953年到1980年采用克拉索夫斯基椭球体。1975年第16届国际大地测量及地球物理联合会（InternationalUnionofGeodesyandGeophysics缩写为IUGG）上通过的国际大地测量协会第一号决议中公布的地球椭球体，称为GRS（1975），我国自1980年开始采用GRS（1975）新参考椭球体系。第二节地球坐标与大地定位确定地面的点位，就是求出地面点对大地水准面的关系，它包括确定地面点在大地水准面上的位置和地面点相对于大地水准面的高度。一、地球表面上的地理坐标地面上任一点在大地水准面上的位置是用地理坐标（经度、纬度）来表示的。

5、图2-2地理坐标地理坐标系是以地理极（北极、南极）为极点。地理极是地轴（地球椭球体的旋转轴）与椭球面的交点，如图2-2，N为北极，S为南极。所有含有地轴的平面，均称为子午面。子午面与地球椭球体面的交线，称为子午线或经线。所有垂直于地轴的平面与椭球面的交线，称为纬线。纬线是不同半径的圆。其中半径最大的纬线，是通过地轴中心垂直于地轴的平面所截的大圆，称为赤道。δ设椭球面上有一点A（图2-2），通过A点作椭球面的垂线，称之为过A点的法线。法线与赤道面的交角，叫做A点的纬度，通常以字母j表示。纬度从赤道起算，在赤道上纬度为0º。纬线离赤道愈远，纬度愈大，至极点

6、纬度为90º。赤道以北的叫北纬，赤道以南的叫南纬。过A点的子午面与通过英国格林尼治天文台的子午面所夹的二面角，叫做A点的经度，通常以字母l表示。国际规定通过英国格林尼治天文台的子午线为本初子午线（或叫首子午线），作为计算经度的起点。该线的经度为0º。向东0º～180º叫东经，向西0º～180º叫西经。根据地理坐标系，地面上任一点的位置可由该点的纬度和经度来确定。例如北京在地球上的位置可由北纬39º56´和东经116º24´来确定。二、平面上的坐标平面上任一点的位置可以用极坐标或直角坐标表示（图2-3）。设O为极坐标的原点，OX为极轴，则A点的位置可表示

7、为A（ρ，δ），这里，ρ为动径，δ为动径角20。如果以极轴为X轴，垂直于极轴的轴为Y轴，则A点的位置亦可用直角坐标表示，即A（x，y）。极坐标与直角坐标的关系可表示为：x=rcosdy=rsind这里需要指出的是，在测量和制图中所规定的X轴和Y轴的方向与数学中的规定相反。动径角（δ）是极轴（OX）与动径（OA）所夹的角，它是按顺时针方向计算的，这也与数学中所规定的不同。三、高程地面点到大地水准面的垂直距离，称为绝对高程。地面点到任一水准面的高程，称为相对高程。如图2-4所示，P0P0为大地水准面，地面点A和B到P0P0的垂直距离为A、B两点的绝对高程。

8、A、B两点至任一水准面P1P1的垂直距离为A、B两点的相对高程。A、B两点的高程差，叫高差（h