2001年考研数学一真题.pdf

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1、2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)x(1)设yeC(sinxCcos)x(CC,为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通1212解,则该方程为_____________.222(2)设rxyz,则div(gradr)=_____________.(1,2,2)01y(3)交换二次积分的积分次序:dyf(x,y)dx＝_____________.1221(4)设矩阵A满足AA40E,其中E为单位矩阵,则()AE=_____________

2、.(5)设随机变量X的方差是2,则根据切比雪夫不等式有估计P{XE(X)2}y_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)Ox(1)设函数f(x)在定义域内可导,yf(x)的图形如右图所示,则yf(x)的图形为(2)设f(x,y)在点(0,0)附近有定义,且fx(0,0)3,fy(0,0)1,则(A)d

3、3dxdy.z(0,0)(B)曲面zf(x,y)在(0,0,(0,0))f处的法向量为{3,1,1}.zf(x,y)(C)曲线在(0,0,(0,0))f处的切向量为{1,0,3}.y0

4、zf(x,y)(D)曲线在(0,0,(0,0))f处的切向量为{3,0,1}.y0(3)设f(0)0,则f(x)在x=0处可导的充要条件为11h(A)limf(1cosh)存在.(B)limfe(1)存在.2h0hh0h11(C)limfh(sinh)存在.(D)lim[(2)fhfh()]存在.2h0hh0h1111400011110000(4)设AB,,则A与B1111000011110000(A)合同且相似.(B)合同但不相似.(C)不合同但相似.(D)不合同且不相似.(

5、5)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y的相关系数等于1(A)-1.(B)0.(C).(D)1.2三、(本题满分6分)xarctane求dx.2xe四、(本题满分6分)ff设函数zf(x,y)在点(1,1)处可微,且f(1,1)1,

6、2(1,1),

7、3(1,1),()xfx(,xyd3fxx(,)).求(x).x1dx五、(本题满分8分)1x2narctan,xx0,(1)设f(x)=x将f(x)展开成x的幂级数,并求级数的和.21,x0,n114n六、(本题满分7分)22

8、2222计算I(yz)dx(2zx)dy(3xy)dz,其中L是平面xyz2与柱L面xy1的交线,从Z轴正向看去,L为逆时针方向.七、(本题满分7分)设f(x)在(1,1)内具有二阶连续导数且f(x)0,试证:(1)对于(1,1)内的任一x0,存在惟一的(x)(0,1),使f(x)=f(0)+xf((x)x)成立;1(2)lim()x.x02八、(本题满分8分)222(xy)设有一高度为ht()(t为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程zh(t)(设h(t)长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积

9、减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0.9),问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时?九、(本题满分6分)设,,,为线性方程组Ax0的一个基础解系,tt,tt,,12s1112221223tt,其中t,t为实常数.试问t,t满足什么条件时,,,,也为Ax0的一个ss121121212s基础解系.十、(本题满分8分)232已知3阶矩阵A与三维向量x,使得向量组xAxAx,,线性无关,且满足Ax3Ax2Ax.21(1)记P=（x,Ax,Ax）,求3阶矩阵B,使APBP;(2)计算行列式AE.十

10、一、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数X服从参数为(0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p(01p),且中途下车与否相互独立.以Y表示在中途下车的人数,求:(1)在发车时有n个乘客的条件下,中途有m人下车的概率;(2)二维随机变量(,)XY的概率分布.十二、(本题满分7分)2设总体X服从正态分布N(,)(0),从该总体中抽取简单随机样本2nn12XX12,,,X2n(n2),其样本均值为XXi,求统计量Y(XiXni2X)的2ni1i1数学期望EY().2001年考研数学一试题答案与解析一、填空题(1)【分析

11、】由通解的形式可知特征方程的两个根是rr,1i,从而得知特征方