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1、考研数学助手您考研的忠实伴侣1996年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析一、填空题x⎛⎞xa+2（1）设lim⎜⎟=8,则a=.x→∞⎝⎠xa−【答】ln2.3axxa−xa−x⎡⎤⎛⎞⎛⎞xa+23=+⎢⎥a3a=3a【详解】因为lim⎜⎟⎜⎟lim1e,xx→∞⎝⎠⎝⎠xa−−→∞⎢⎥xa⎣⎦3a于是ea=⇒=8ln2（2）设一平面经过原点及点()6,3,2,−且与平面42x−yz+=8垂直，则此平面方程为.【答】2230xyz+−=【详解】原点与点(6,3,2−)连线的方向向量为s=−(6,3,2);平面42x−+=yz8的法向量为n=−{4,1,2,}根据题意，所求平
2、面的法向量为ijksn×=632223−=+−ijk.412−故所求平面方程为2020300()()xyz−+−−−=(),即2230xyz+−=.'''x(3)微分方程yyye−+=22的通解为.xxx【答】yCe=++cosxCexesin12【详解】对应齐次方程的特征方程为2λλ−+=220,解得特征根为λ=±1,i1,2**由于α=1不是特征根，可设原方程的特解为yA=e，代入原方程解得A=1,故所求通解为xxxyCe=++cosxCexesin1222（4）函数uxyz=++ln()在A(1,0,1)点处沿A点指向的方向导数为.1【答】.2【详解】因为∂u11
3、
4、==,∂xAxyz
5、++22()1,0,12∂uy1
6、
7、=⋅=0∂yAxyzyz++2222+()1,0,1∂uz11
8、
9、=⋅=,∂zAxyzyz++2222+()1,0,12221cosαβγ==,cos−=,cos,333gggh⎧⎫221沿AB方向的单位向量为⎨⎬,,,−⎩⎭333gggh故u沿AB方向的方向导数为∂u12⎛⎞2111gggh=⋅+⋅−+⋅=0⎜⎟∂AB23⎝⎠3232⎡102⎤⎢⎥（5）设A是43×矩阵，且A的秩rA()=2,而B=020,则rAB()=.⎢⎥⎢⎣−103⎥⎦【答】2.102【详解】因为B==020100≠,−103说明矩阵B可逆，故秩rAB()=秩rA()=2,二、选择
10、题()x++aydxydy（1）已知为某函数的全微分，则a等于2()xy+（A）-1.（B）0.(C)1.(D)2.【】【答】应选（D）.()x++aydxydy【详解】为某函数的全微分的充要条件是2()xy+∂∂⎛⎞yx⎛⎞+ay⎜⎟=⎜⎟,∂∂⎜⎟++22⎜⎟xy⎝⎠()xy⎝⎠()xy即()ax−−=2ayyaxy−2,()−−=2()0.当且仅当a=2时上式恒成立，故正确选项为（D）.'''fx()（2）设f()x有二阶连续导数，且f()00=,lim=1,则x→0x（A）f()0是f()x的极大值.（B）f()0是f()x的极小值.（C）()0,f()0是曲线yfx=()的拐点.（
11、D）f()0不是f(x)的极值，()0,f(0)也不是曲线yfx=()的拐点【】【答】应选（B）.''fx()【详解】由题设lim=1根据极限的性质知，存在x=0的某邻域，x→0x''fx()''在此邻域内有≥0.即fx()≥0.x又根据泰勒公式，'''2f(ξ)f()xf=++()00fx()x其中ξ在0与x之间，2!''f()ξ2从而fxf()=+()00xf≥()2!可见f()0是f()x的极小值，故正确选项为（B）∞∞⎛⎞πn⎛⎞λ（3）设ann>=01(),2,,?且∑an收敛，常数λ∈⎜⎟0,,则级数∑()−1t⎜⎟naan2nn=1⎝⎠2n=1⎝⎠n（A）绝对收敛.（B）条件收
12、敛.(C)发散.（D）敛散性与λ有关.【】【答】应选（A）.n⎛⎞λλ【详解】由于()−=1t⎜⎟naannatan,⋅22nn⎝⎠nnn而limtann=λ,所以当n充分大时，n→∞λλnatan⋅<+22nn()λ1an∞∞又正项级∑an收敛，所以其偶数项数列构成的级数∑a2n也收敛，n=1n=1∞n⎛⎞λ从而∑()−1t⎜⎟naan2n绝对收敛，n=1⎝⎠n故正确选项为（A）x'22（4）设f()x有连续的导数，f()00=≠=−,00fF(),()xx∫(t)f()tdt,且当x→00'k时，Fx()是与x是同阶无穷小，则k等于【】【答】应选（C）.【详解】因为'xxx'2⎡⎤222
13、Fx()=−=+⎢⎥⎣⎦xftdt∫∫()tftdt()2xftdtxfxxfx∫()()−()000x=2xftd∫()t.0'k'又根据题设Fx()与x是同阶无穷小，且ff(00)=,00()≠,于是有xFx'()2xftd∫()t2fx()0lim==limlimkkk−2xx→→00xxkx→0()−1x1fxf()−()0=⋅2limk−3x→0()kx−−10x'1=⋅20lf()im≠0,k−3
