考研数学讲义.pdf

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1、2015年考研数学第42—48讲，（数一，多元积分)第42讲.向量代数撑“空解”“平解”依靠平面直角坐标系，重在“轨迹”与方程。“空解”依靠空间直角坐标系。通常将x轴正向指向我们，y轴正向指向右，z轴正向指向上。“空解”的第一工具是“向量代数”。其主要内容是（三维空间的）自由向量集与该集合上的线性运算（加法和数乘），向量的数量积和向量积。向量的投影。1．向量代数自由向量可以在空间中任意平行移动，而保持大小及方向不变。自由向量的两要素——模长和指向。规定零向量的模长为零，方向不定。向量的两要素表示

2、法——若把向量a的模长记为

3、a

4、，与a同方向的单位向量记为0a=

5、a

6、a0a，则向量a有两要素表示法自由向量a的坐标——分别选与三坐标轴同方向的单位向量i，j，k（或记为e1，e2，e3）为基向量组。这是三维向量空间的一个规范正交最大无关组。任意一个自由向量a，不妨认为其起点是原点。总可以唯一地被基向量组线性表示。即a=a1i+a2j+a3k，就称有序（实）系数组{a1,a2,a3}为向量a的坐标。（潜台词：对比一下，向量组的“最大无关组”，本质上就是一组“斜”坐标基。）向量M1M2的坐标为

7、{x2-x1,y2-y1,z2-z1}（潜台词：终点坐标–起点坐标。）方向余弦——单位向量a0的三个坐标，恰好是该方向分别与三坐标轴夹角的余弦。从而向量的两要素表示法又可以记为a=

8、a

9、{cosa,cosb,cosg}cosa,cosb,cosg，称为向量a的方向余弦。向量的数量积——向量a={a1,a2,a3}和b={b1,b2,b3}的数量积（又称为点积），是两个向量按照规则对应于一个确定的数，即a×b=

10、a

11、

12、b

13、cos(a,b)=a1b1+a2b2+a3b3向量数量积的物理模型——常力F

14、使物体有位移矢量L，所做的功，等于向量F与L的数量积。向量的向量积——向量a={a1,a2,a3}和b={b1,b2,b3}向量积是一个向量。它的模长

15、a´b

16、=

17、a

18、

19、b

20、sin；它的方向规定为与这两个向量垂直，且向量a,b和a´b顺次成右手系。向量积的坐标表达式为ìa2a3a3a1a1a2üa´b=í,,ýîb2b3b3b1b1b2þ1向量代数的基本应用——（1）两个非零向量a和b平行的充分必要条件为a´b=0（零向量）。或，存在实数λ≠0，使得a=lb（潜台词：两个向量平行，即是

21、两向量线性相关。对应分量成比例。）（2）若向量a既垂直于b又垂直于c，且b和c不平行，则记a=l(b´c)（3）两个非零向量a和b垂直（正交）的充分必要条件为a×b=0（数零）。（4）22222

22、a

23、=a×a=(a)=a1+a2+a3a×ba1b1+a2b2+a3b3（5）cos=

24、a

25、

26、b

27、222222a1+a2+a3b1+b2+b3（6）向量a在的轴上投影为a×e=

28、a

29、cos，e为轴方向。例1求既垂直于向量a={2,-1,1}，又垂直于z轴的单位向量。解由已知条件可设所

30、求向量e=l(a´k)ì-11122-1üa´k=í,,ý={-1,-2,0}î011000þ令

31、l(a´k)

32、=

33、l

34、

35、a´b

36、=

37、l

38、1+4=5

39、l

40、=11112解得

41、l

42、=，即l=±，所求单位向量为±{×,0}5555解法二假设所求向量为{x,y,z}，则依靠两个垂直关系，利用点积为零得到两个方程，再以模长为1获得第3个方程，联列求解。例2化简(a+b)´(b+c)×(a+b+c)解原式=(a´b+a´c+b´c)×(a+b+c)=a´b×c+a´c×b+b´c×a=a´b×c-c´a×b

43、+b´c×a=a´b×c其中，用到了三个向量的混合积关系式a´b×c=b´c×a=c´a×b例3应用向量知识讨论：（1）三点共线；（2）四点共面的条件。解设这些点的坐标分别为Mj=(xj,yj,zj)，j=1,2,3,4，则可以分别作向量M1Mj={xj-x1,yj-y1,zj-z1}j=2,3,4三点M1，M2，M3共线的充分必要条件是向量M1M2和M1M3平行。x2-x1y2-y1z2-z1向量平行的充分必要条件是坐标对应成比例==x3-x1y3-y1z3-z1应用行列式的性质，还可以把上述

44、充分必要条件另表示为x1y1z1x1y1z1x2y2z2=0，实际上，左端的行列式=x2-x1y2-y1z2-z1x3y3z3x3-x1y3-y1z3-z12（2）四点共面的充分必要条件是，向量积M1M2×M1M3垂直于向量M1M4，向量代数将此条件记为，（混合积）MM´M1M3×M1M4=0，用行列式表述为121x1y1z1x2-x1y2-y1z2-z11x2y2z2x3-x1y3-y1z3-z1==01x3y3z3x4-x1y4-y1z4-z11x4y4z4用《线性代数》知识表述，则四点共面