高等数学考研讲义.pdf

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1、第一讲极限、无穷小与连续性一、知识网络图xfx())nn1二、重点考核点这部分的重点是：①掌握求极限的各种方法．1②掌握无穷小阶的比较及确定无穷小阶的方法．③判断函数是否连续及确定间断点的类型（本质上是求极限）．④复合函数、分段函数及函数记号的运算．§1极限的重要性质1．不等式性质设limxnA，limynB，且A＞B，则存在自然数N，使得当n＞N时有xn＞yn．nn设limxnA，limynB，且存在自然数N，当n＞N时有xn≥yn，则A≥B．nn作为上述性质的推论，有如下的保号性质：设limxA，且A＞0，则存在自然数N，使

2、nn得当n＞N时有xn＞0．设limxnA，且存在自然数N，当n＞N时有xn≥0，则A≥0．n对各种函数极限有类似的性质．例如：设limf(x)A，limg(x)B，且A＞B，则存在δ＞xx0xx00，使得当0

3、某空心邻域中有界，即存在δ＞0和M＞0，使得xx0当0＜｜x－x0｜＜δ时有｜f（x）｜≤M．对其他类型的函数极限也有类似的结论．§2求极限的方法1．极限的四则运算法则及其推广设limf(x)A，limg(x)B，则xx0xx0f(x)Alim[f(x)g(x)]AB；limf(x)g(x)AB；lim(B0)．xx0xx0xx0g(x)B0只要设limf(x)，limg(x)存在或是无穷大量，上面的四则运算法则可以推广到除“”，xx0xx00“”，“0·∞”，“∞－∞”四种未定式以外的各种情形．即：1°设limf(x)

4、，limg(x)B，xx0xx0f(x)则lim[f(x)g(x)].lim（gx()0）又B≠0，则lim[f(x)g(x)]．2°设xx0xx0g(x)xx0limf(x)，当x→x0时gx()局部有界，（即0,M0，使得0xx0时gx()M），xx02则lim[f(x)g(x)]．xx0设limf(x)，当x→x0时｜g（x）｜局部有正下界，（即δ＞0，b＞0使得0＜｜x－x0｜xx0＜δ时｜g（x）｜≥b＞0），则lim[f(x)g(x)]．xx03°设limf(x)，l

5、img(x)，则limf(x)g(x)，又δ＞0使得0＜｜x－xx0xx0xx0x0｜＜δ时f（x）g（x）＞0，则lim[f(x)g(x)]．xx04°设limf(x)0，x→x0时g（x）局部有界，则limf(x)g(x)0（无穷小量与有界xx0xx0变量之积为无穷小．）2．幂指函数的极限及其推广g(x)B设limf(x)A＞0，limg(x)B则limf(x)A．xx0xx0xx0limgx()ln()fx(lim()fxgx()limegx()ln()fxexx0eBlnAAB)xx0

6、0xx∞00只要设lim()lim()fx，gx存在或是无穷大量,上面的结果可以推广到除“1”，“0”及“∞”xx00xx三种未定式以外的各种情形．这是因为仅在这三个情况下limg(x)lnf(x)是“0·∞”型未定xx0式．1°设limf(x)=0（0＜｜x－x｜＜δ时f（x）＞0），limg(x)B0，则0xx0xx00(B0)gx()lim()fxxx0(B0)0(0

7、(x)3°设limf(x)=+∞，limg(x)B0，则limf(x)xx0xx0xx0(B＞0)f(x)【例1】设limA，又limg(x)0，则limf(x)________．xx0g(x)xx0xx0f(x)【分析】limf(x)＝lim(g(x))A00．xx0xx0g(x)3【例2】设｛an｝，｛bn｝，｛cn｝均为非负数列，且liman0，limbn1，limcn，则必有nnn（A）an＜bn对任意n成立．（B）bn＜cn对任意n成立．（C）极限limac不存在．（D）limbc不

8、存在．nnnnnn0用相消法求或型极限0