2011年中考数学模拟题分类47_开放探究型问题_含答案_.pdf

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1、开放探究型问题一、填空题1、（2011年北京四中模拟28）两个不相等的无理数，它们的乘积为有理数，这两个数可以是．．．．．．答案：略二、解答题1．在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为VABC外一点，且MDN60,BDC120,BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系．图1图2图3（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量Q关系是；此时；L（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还

2、成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=x，则Q=（用x、L表示）．2aPT与MN交于点Q，Q点的坐标是（a，3）．3312解：（I）如图1，BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN．Q2此时．L3（II）猜想：结论仍然成立．证明：如图，延长AC至E，使CE=BM，连接DE．BDCD,且BDC120．DBCDCB30．又ABC是等边三角形，-1-oMBDNCD90．在MBD与ECD中：BMCEMBDECDBDDCMBDECD(SAS)．DM=DE,BD

3、MCDEEDNBDCMDN60在MDN与EDN中：DMDEMDNEDNDNDNMDNEDN(SAS)MN=NE=NC+BMAMN的周长Q=AM+AN+MN=AM+AN+(NC+BM)=(AM+BM)+(AN+NC)=AB+AC=2AB而等边ABC的周长L=3ABQ2AB2.L3AB3（III）如图3，当M、N分别在AB、CA的延长线上时，若AN=x，2则Q=2x+L（用x、L表示）．3Ｂ组三、解答题111．（2011天一实验学校二模）已知：如图，直线l：yxb，经过点M(0,)，一组抛34物线的顶点B(1，y)，B(2，

4、y)，B(3，y)，L，Bny(，)（n为正整数）依次是直112233nn线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1,0）,A2（x2,0）,A3（x3,0）,……An+1（xn+1,0）（n为正整数），设x1d（0d1）．（1）求b的值；（2）求经过点A、B、A的抛物线的解析式（用含d的代数式表示）112（3）定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．-2-探究：当d（0d1）的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的d的值．yBlnB3B2B1…MOA11A22A33A4Ann

5、An1x答案：11⑴∵M(0,)在直线y=x+b上，431∴b=411117⑵由⑴得y=x+,∵B1(1,y1)在直线l上，∴当x=1时，y1=×1+=3434127∴B1(1,)12又∵A1(d,0)A2(2-d,0)77设y=a(x-d)(x-2+d),把B1(1,)代入得：a=-21212(d1)7∴过A1、B1、A2三点的抛物线解析式为y=-(x-d)(x-2+d)212(d1)727(或写出顶点式为y=-(x-1)+)212(d1)12⑶存在美丽抛物线。由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必定是以抛物线为顶点为直角顶点的等腰直角三角形，此等腰直角三角形斜边上的高等于

6、斜边的一半，又∵01344∴美丽抛物线的顶点只有B1B2.-3-775①若B1为顶点，由B1(1,)，则d=1-=121212111111②若B2为顶点，由B2(2,)，则d=1-(2)1=121212511综上所述，d的值为或时，存在美丽抛物线。1212２．（2011年杭州市西湖区模拟）（本题12分）矩形OABC在直角坐标系中的位置如

7、图所示，3A、C两点的坐标分别为A(6,0)、C(0,3)，直线yx与BC边相交于点D.42(1)若抛物线yaxbxa(0)经过D、A两点，试确定此抛物线的表达式；(2)若以点A为圆心的⊙A与直线OD相切，试求⊙A的半径；(3)设(1)中抛物线的对称轴与直线OD交于点M，在对称轴上是否存在点Q，以Q、O、M为顶点的三角形与OCD相似，若存在,试求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，试说明理由.第2题y3答案：（1）解