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时间:2020-03-26
《考研数学_高等数学_2011年_2012年_冲刺_新东方讲义.pdf》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、考研数学冲刺班高等数学与微积分主讲主讲:主讲:::汪诚义汪诚义欢迎使用新东方在线电子教材第一章函数、、极限、极限、、连续、连续§§§1.1函数一、有关四种性质(奇偶性、单调性、周期性、有界性)0当fx()为奇函数(a>0)a1.∫fxdx()=a-a2fxdx()当fx()为偶函数∫0口诀(1):奇偶函数常遇到;对称性质不可忘。2.在(a,b)内,若fx¢()>0,则fx()单调增加若fx¢()<0,则fx()单调减少口诀(2):单调增加与减少;先算导数正与负15x-x2例1求I=∫xx[+(e-e)ln(x
2、+x+1)].dx-1x-x-xx2解fx()=e-e是奇函数,∵f(-x)=e-e=-fxfx(),()=ln(x+x+1)是奇1112函数,222(x+1)-x∵f(-x)=ln(-+xx-1)=ln22x+x+12=ln1ln(-x+x+1)=-fx()2x-x2因此xe(-e)ln(x+x+1)是奇函数。11266于是I=∫xdx+=02∫xdx=。-107例2设Fx¢()=fx(),则下列结论正确的是(A)若fx()为奇函数,则Fx()为偶函数。(B)若fx()为偶函数,则Fx()为奇函数。(C)若fx()为
3、周期函数,则Fx()为周期函数。(D)若fx()为单调函数,则Fx()为单调函数。32x解(B)不成立,反例fx()=xFx,()=+13(C)不成立,反例fx()=cosx+1,()Fx=sinx+x2(D)不成立,反例fx()=2,()xFx=x在(-¥+¥,)内(A)成立。x证明Fx()=F(0)+∫ftdtf(),为奇函数,0-xxF(-x)=F(0)+∫ftdt()=F(0)+∫f(-ud)(-u)00x=F(0)+∫fudu()=Fx()0所以,Fx()为偶函数。例3设fx(),gx()是恒大于零的可导函数
4、,且fxgx¢()()-fxgx()()¢<0,则当afbgx()()(B)fxga()()>fagx()()(C)fxgx()()>fbgb()()(D)fxgx()()>faga()()¢fx()1fx()解∵=2[()()fxgx¢-fxgx()()]0¢<,∴单调减少gx()gx()gx()fx()fb()于是x,故(A)成立。gx()gb()1二、有关复合函数1.已知fx(),gx()求fgx[()]2.已知fgx[()]和gx(),
5、求fx()fx()x£agx()x£b11例1、已知fx()=和gx()=fx()x>agx()x>b22求fgx[()]fgx[()]当x£bgx,()£a111fgx[()]当x>bgx,()£a122解:fgx[()]=fgx[()]当x£bgx,()>a211fgx[()]当x>bgx,()>a222x-x例2、已知fe¢()=xe,且f(1)=0,求fx()x解:令e=t,则x=lnt,因此xlntfe¢()=ft¢()=txlnt于是,fx()-f(1)=∫dt1tx12=lnt2
6、112=lnx2§§§1.2§1.21.2极限1.2极限极限极限一、有关无穷小量1.有界变量乘无穷小(量)仍是无穷小(量);2.等价无穷小代换;3.无穷小的阶的比较。x-sinxlim例1求x®0sin3xx-sinx1-cosx1=lim=lim=解原式32x®0xx®03x62n例2设当x→0时(1-cosx)ln(1+x)是比xsinx高阶的无穷小,而22(x)ne-1xsinx是比高阶的无穷小,则正整数n等于(A)1(B)2(C)3(D)4()214解:1-cosxln(1+x)®x2nn+1xsinx®xx2
7、2e-1®x由题意可知,4>n+1>2,∴n+1=3,n=2选(B)15xsintsinxt例3设a(x)=∫dt,b(x)=∫1(+t)dt,则当x→0时,0t0a(x)是b(x)的()(A)高阶无穷小(B)低阶无穷小(C)同阶但不等价的无穷小(D)等价无穷小sin5x()()×5axa'x5x5lim=lim=lim=解x®0b()xx®0b'()xx®01e1(+sinx)sinx×cosx选(C)二、有关两个准则准则1单调有界数列极限一定存在。3准则2夹逼定理。例1设n08、存在,并求其值。1n+1nnx®0解∵x+3(-x)3x>3,0-x>,0 1时,01时,x-x=x3(-x)-x=x(3-x-x)n+1nnnnnnn,x3(-2x)nn=³03-x+x,nnx³x
8、存在,并求其值。1n+1nnx®0解∵x+3(-x)3x>3,0-x>,0 1时,01时,x-x=x3(-x)-x=x(3-x-x)n+1nnnnnnn,x3(-2x)nn=³03-x+x,nnx³x
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