考研数学冲刺班高等数学讲义(全

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1、考研资料共享QQ776597299新浪共享id：ncut201009302010考研数学冲刺班高等数学讲义主讲：汪诚义欢迎使用新东方在线电子教材第一章函数、极限、连续§1.1函数一、有关四种性质(奇偶性、单调性、周期性、有界性)1.口诀(1)：奇偶函数常遇到；对称性质不可忘。2.在(a,b)内，若，则单调增加若，则单调减少口诀(2)：单调增加与减少；先算导数正与负例1求解是奇函数，∵是奇函数，∵因此是奇函数。于是。例2设，则下列结论正确的是(A)若为奇函数，则为偶函数。71考研资料共享QQ776597299新浪共享id：ncut20100930(B)若为偶函数，则为奇函数。(C)若为周期函

2、数，则为周期函数。(D)若为单调函数，则为单调函数。解(B)不成立，反例(C)不成立，反例(D)不成立，反例(A)成立。证明为奇函数，所以，为偶函数。例3设，是恒大于零的可导函数，且，则当时，下列结论成立的是(A)(B)(C)(D)解∵，∴单调减少于是x

3、时(1-cosx)ln(1+x2)是比xsinxn高阶的无穷小，而xsinxn是比高阶的无穷小，则正整数n等于(A)1(B)2(C)3(D)4解：由题意可知，4>n+1>2，∴n+1=3,n=2选(B)例3设，则当x→0时，是的()71考研资料共享QQ776597299新浪共享id：ncut20100930(A)高阶无穷小(B)低阶无穷小(C)同阶但不等价的无穷小(D)等价无穷小解选(C)二、有关两个准则准则1单调有界数列极限一定存在。准则2夹逼定理。例1设，，证明存在，并求其值。解∵，∴(几何平均值≤算术平均值)用数学归纳法可知n>1时，，∴有界。又当n>1时，∴，则单调增加。根据准则1

4、，存在把两边取极限，得(舍去)得，∴。口诀(3)：递推数列求极限；单调有界要先证；两边极限一起上；方程之中把值找。例2求。解令，则0

5、”型，“∞-∞”型，“1∞”型，“00”型和“∞0”型口诀(5)：待定极限七类型，分层处理洛必达。71考研资料共享QQ776597299新浪共享id：ncut20100930第一层次：直接用洛必达法则“”型用洛必达法则Ⅰ“”型用洛必达法则Ⅱ第二层次：间接用洛必达法则“0·∞”型例变为“”型“∞-∞”型例变为“”型第三层次：间接再间接用洛必达法则“1∞”型，“00”型，“∞0”型均为形式而称为冪指函数，比较复杂。口诀(6)：冪指函数最复杂；指数、对数一起上。而上面三种类型化为这时一定是“0·∞”型再用第二层次的方法处理即可例例1求。解原式====71考研资料共享QQ776597299新浪共享

6、id：ncut20100930===例2设函数连续，且，求解原式=(分母令=(用积分中值定理)=(ξ在0和x之间)=.口诀(7)：变限积分是函数；遇到之后先求导。公式：(当连续时)例3高a>0,b>0常数，求解先考虑它是“”型。令71考研资料共享QQ776597299新浪共享id：ncut20100930因此，于是，。口诀(8)离散数列“洛必达”；先要转化连续型。五、求分段函数的极限例求。解∴口诀(9)：分段函数分段点；左右运算要先行。六用导数定义求极限例设曲线与在原点相切，求解由题设可知，于是71考研资料共享QQ776597299新浪共享id：ncut20100930七用定积分定义求极限

7、公式：(连续)例1求。分析如果还想用夹逼定理中方法来考虑而，由此可见，无法再用夹逼定理，因此我们改用定积分定义来考虑。解=例2求。解∵而由夹逼定理可知，口诀(10)：数列极限逢绝境；转化积分见光明。八、求极限的反问题例1设，求a和b.71考研资料共享QQ776597299新浪共享id：ncut20100930解由题设可知，∴1+a+b=0再对极限用洛必达法则例2、设在(0，+∞)内可导，>0，且满足，求解：先用冪指函数处