10考研高等数学强化讲义(附录)全

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1、附录I一、微分学在经济方面的应用例1．设某企业每月需要使用某种材料2400公斤，每公斤成本150元，每年库存费为成本的6%，而每次订货费为100元。试求每批订货量为多少时，方使每月库存费和订货费之和最少？并求出这个最少费用（假设材料是均匀使用的）。解：设每批订货公斤均匀使用，平均库存量为批量的一半，即，每公斤库存费为，每批库存费为（元）订货费（元）令解出（另一负值不合题意舍去）为极小值点只有唯一的极值，可知也是最小值点元故每批订货800公斤，每月库存费与订货费之和为600元最少。例2．某商品的成本每件元，若另售

2、价定为每件元可卖出件，如果每件售价减少元则可多卖出件，试求该商品每件售价定为多少时，方可获得最大利润？最大利润是多少？解：以表示卖出件数，售价为元/件，利润为则，由题意可知于是，因此，令得，又当（元）时，（元）为极大值也是最大值例3．设某商品单价为时，售出商品数量为其中均为正数，且。（1）求在何范围变化时，使相应销售额增加或减少；（2）要使销售额最大，商品单价应取何值？最大销售额是多少？解：（1）设售出商品的销售额为，则，。令，得。当时，有。所以随单价的增加，相应的销售额也将增加。当时，有所以随单价的增加，相应

3、的销售额将减少。（2）由（1）可知，当时，销售额取得最大值，最大销售额为。（）例4．某商品进价为（元/件），根据以往经验，当销售价为（元/件）时，销售量为件（均为正常数，且），市场调查表明，销售价每下降10%，销售量可增加40%，现决定一次性降价。试问，当销售价定为多少时，可获得最大利润？并求出最大利润。解：设表示降价后的销售价，为增加的销售量，为总利润，那么，则。从而。对求导，得令，得惟一驻点。由问题的实际意义或可知，为极大值点，也是最大值点，故定价为（元）时，得最大利润（元）。例5．设某商品需求量是价格的单

4、调减少函数：，其需求弹性。（1）设为总收益函数，证明。（2）求时，总收益对价格的弹性，并说明其经济意义。解：（1）。上式两边对求导数，得。（2）经济意义：当时，若价格上涨1%，则总收益将增加例6．设某商品的需求函数为，其中价格，为需求量。（1）求需求量对价格的弹性；（2）推导（其中为收益），并用弹性说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加。解：（1）。（2）由，得。又由，得。当时，，于是。故当时，降低价格反而使收益增加。二、多元函数微分学在经济方面的应用（数学三和数学四）例1．某公司通过电视和报纸两种形

5、式作广告，已知销售收入（万元）与电视广告费（万元），报纸广告费（万元）有如下关系：，（1）在广告费用不限的情况下，求最佳广告策略；（2）如果提供的广告费用为万元，求相应的广告策略。解：（1）利润函数为，令，，为唯一的驻点。万元当电视广告费与报纸广告费分别为万元和万元时，最大利润为（万元），此即为最佳广告策略。（2）求广告费用为万元的条件下的最佳广告策略，即为在条件：下，的最大值。令，解方程组，，这是唯一的驻点，又由题意一定存在最大值，故（万元）为最大值。例2．设生产某种产品必须投入两种要素，和分别为两要素的投入

6、量，为产出量；若生产函数，其中为正常数，且假设两种要素的价格分别为和，试问：当产出量为时，两要素各投入多少可以使投入总费用最小。解：需要在产出量的条件下，求总费用的最小值，为此作拉格朗日函数令（1）（2）（3）由（1）和（2），得，将代入（3），得，因驻点唯一，且实际问题存在最小值，故说明，时，投入总费用最小。例3．假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是，其中分别表示该产品在两个市场的价格（单位：万元／吨），和分别表示该产品在两个市场的销售量（即需求量，单位：吨），并且该企业生

7、产这种产品的总成本函数是其中，表示该产品在两个市场的销售总量，即（1）如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；（2）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小。解：（1）根据题意，总利润函数为令解得，，则（万元／吨），（万元／吨）因驻点唯一，且实际问题一定存在最大值，故最大值必在驻点处达到，最大利润为（万元）（2）若实行价格无差别策略，则，于是有约束条件构造拉格朗日函数，令解得

8、，，，则，最大利润为（万元）由（1），（2）结果可知，企业实行差别定价所得总利润要大于统一价格的总利润三．差分方程（数学三）1．差分和差分方程概念（1）差分概念函数，记，则，一阶差分，二阶差分，……阶差分（2）差分性质（i）（ii）（3）差分方程的概念或均是差分方程。（i）差分方程的阶就是差分方程中出现差分的最高阶数。（ii）差分方程的解就是代入差分方程，能使之成为恒等式的函数。（ii