考研高等数学强化讲义(第七章)全

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1、第七章多元函数积分学§7.1二重积分（甲）内容要点一、在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序问题口诀（40）：多重积分的计算，累次积分最关键。模型I：设有界闭区域其中，在上连续，在上连续，则模型II：设有界闭区域其中，在上连续，在上连续则27关于二重积分的计算主要根据模型I或模型II，把二重积分化为累次积分从而进行计算，对于比较复杂的区域如果既不符合模型I中关于的要求，又不符合模型II中关于的要求，那么就需要把分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合模型I或模型II中关于区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重

2、积分之和，而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。在直角坐标系中两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段，具体做法是先把给定的累次积分反过来化为二重积分，求出它的积分区域，然后根据再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分。口诀（41）：交换积分的顺序，先要化为重积分。二、在极坐标系中化二重积分为累次积分在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定对进行积分，然后再对进行积分，由于区域的不同类型，也有几种常用的模型。模型I设有界闭区域其中，在上连续，在上连续。则模型II设有界闭区域其中在上连续，在上连续。则27（乙）典型例题一

3、、二重积分的计算例1．计算，其中由，和轴所围区域解：如果那么先对求原函数就不行，故考虑另一种顺序的累次积分。这时先对积分，当作常数处理就可以了。原式例2．计算解：原式27==例3．求解一：（对称性）解二：由积分区域对称性和被积函数的奇偶性可知27原式===二、交换积分的顺序例1．交换的积分顺序解：原式=其中D由和以及所围的区域由因此按另一顺序把二重积分化为累次积分对三块小区域得原式=例2．设连续，证明27证明：交换积分次序令，则，例3．计算解：三、二重积分在几何上的应用1．求空间物体的体积（数学一）例1．求两个底半径为R的正交圆柱面所围立体的体积解：设

4、两正交圆柱面的方程为和，它们所围立体在第一卦限中的那部分体积其中为，因此而整个立体体积由对称性可知27例2．求球面和圆柱面所围（包含原点那一部分）的体积解：其中为平面上与轴所围平面区域用极坐标系进行计算2．求曲面的面积（数学一）§7.2三重积分（数学一）（甲）内容要点一、三重积分的计算方法1．直角坐标系中三重积分化为累次积分（1）设是空间的有界闭区域其中是平面上的有界闭区域，在上连续函数在上连续，则（2）设27其中为竖坐标为的平面上的有界闭区域，则2．柱坐标系中三重积分的计算相当于把化为极坐标而保持不变3．球坐标系中三重积分的计算（乙）典型例题一、有关

5、三重积分的计算例1．计算，其中由曲面，，，所围的区域解：27例2．计算，其中由曲面所围的区域解：令，，（广义球坐标）则例3．计算，其中由曲面所围的区域解：用球坐标（的球坐标方程化简为）例4．计算，其中由曲面，所围的区域解：二、在物理上的应用例1．求椭圆锥面和平面围成物体的重心（设密度均匀恒为1）27解：设重心坐标物体所占空间区域为由对称性可知，由锥体体积公式可知令，，而因此，重心坐标，，例2．设有一半径为的球体，是球表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到的距离平方成正比（比例系数），求球体重心的位置解一：设球面方程为，为，球体的重心坐标为由对称性

6、可知，由区域的对称性和函数的奇偶性，则有27于是因此，重心坐标为解二：设球面坐标，，重心坐标由对称性可知，27于是，重心坐标§7.3曲线积分（数学一）（甲）内容要点一、第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）参数计算公式我们只讨论空间情形（平面情形类似）设空间曲线的参数方程，，，则（假设和，，皆连续）这样把曲线积分化为定积分来进行计算二、第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）参数计算公式我们只讨论空间情形（平面情形类似）设空间有向曲线的参数方程，，，起点对应参数为，终点对应参数为（注意：现在和的大小不一定）如果，，皆连续，又，，也都连续，则这样把曲线积分化为定积

7、分来计算。值得注意：如果曲线积分的定向相反，则第二类曲线积分的值差一个负号，而第一类曲线积分的值与定向无关，故曲线不考虑定向。三、两类曲线积分之间的关系空间情形：设为空间一条逐段光滑有定向的曲线，，，在上连续，则27其中，，为曲线孤上上点处沿定向到方向的切线的方向余弦。四、格林公式关于平面区域上的二重积分和它的边界曲线上的曲线积分之间的关系有一个十分重要的定理，它的结论就是格林公式。定理1．（单连通区域情形）设平面上有界闭区域由一条逐段光滑闭曲线所围的单连通区域，当沿正定向移动时区域在的左边，函数，在上有连续的一阶偏导数，则有五、平面上曲线积分与路径无

8、关的几个等价条件设，在单连通区域内有一阶连续偏导数，则下面几个条件彼此等价1．任意曲线在内与路