09考研高等数学强化讲义(第四章)全

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1、新东方在线[www.koolearn.com]网络课堂电子教材系列09考研高等数学第四章新东方考研高等数学电子教材主讲：汪诚义欢迎使用新东方在线电子教材教材说明：本教案是针对新东方在线使用的内部讲义，本讲义按章节提供。根据老师的意见，例题的解题步骤不给提供，在课件的板书上有显示，学员自己可以先做题目再听老师的讲解效果会更好。严禁翻印、在网上任意传播！第四章常微分方程§4．1基本概念和一阶微分方程（甲）内容要点一、基本概念1．常微分方程和阶2．解、通解和特解3．初始条件4．齐次线性方程和非齐次线性方程例1．为二阶、线性、非齐次

2、方程，如果要求，这就是初始条件，从而得到特解。例2．为二阶非线性方程新东方在线[www.koolearn.com]网络课堂电子教材系列09考研高等数学第四章二、变量可分离方程及其推广1．2．齐次方程：令则代入后得，则三、一阶线性方程及其推广1．通解2．（数学三不考，数一、二要考）令则为一阶线性方程四、全微分方程及其推广（数学一）1．，满足2．，但存在，使五、差分方程（数学三）（乙）典型例题例1．求的通解。新东方在线[www.koolearn.com]网络课堂电子教材系列09考研高等数学第四章解：令，则，例2．求微分方程的通解

3、解：此题不是一阶线性方程，但把看作未知函数，看作自变量，所得微分方程即是一阶线性方程，例3．设是的一个解，求此微分方程满足的特解解：将代入微分方程求出，方程化为先求出对应齐次方程的通解根据解的结构立刻可得非齐次方程通解再由得，故所求解例4．设，其中，在内满足以下条件，，且，新东方在线[www.koolearn.com]网络课堂电子教材系列09考研高等数学第四章（1）求所满足的一阶微分方程（2）求出的表达式解：（1）由可知所满足的一阶微分方程为（2）将代入，可知于是例5．求微分方程的通解解：令，，原方程化为化简为再令，则，方程

4、化为，新东方在线[www.koolearn.com]网络课堂电子教材系列09考研高等数学第四章，最后再返回也返回，即可。例6．设连续，，求解：方程两边对求导，得为一阶线性非齐次方程口诀（35）：微分方程要规范；变换、求导、函数反§4．3微分方程的应用一、微分方程在几何问题方面的应用例1．求通过的曲线方程，使曲线上任意点处切线与轴之交点与切点的距离等于此交点与原点的距离。解：设曲线上任意一点，则其切线方程为，故切线与轴交点的坐标为，由题意所以。这样，新东方在线[www.koolearn.com]网络课堂电子教材系列09考研高等

5、数学第四章令解得，即，则例2．设函数在上连续，若曲线，直线，与轴围成平面图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积，试求所满足的微分方程，并求的解。解：由题意可知则两边对求导，令，，得，令，，，这样，，当，时两边积分后得，方程通解为，再由，可得二、其它应用（略）新东方在线[www.koolearn.com]网络课堂电子教材系列09考研高等数学第四章§4．2特殊的高阶微分方程（甲）内容要点一、可降阶的高阶微分方程（数学三不考，数学一、二要考）方程类型解法及解的表达式通解令，则，原方程——一阶方程，设其解为，即，则原方程的通解为令，把看作

6、的函数，则把的表达式代入原方程，得——一阶方程，设其解为，即，则原方程的通解为二、线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。二阶齐次线性方程（1）二阶非齐次线性方程（2）1．若，为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合（为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当（为常数），也即与线性无关时，则方程的通解为。2．若为二阶非齐次线性方程的一个特解，而新东方在线[www.koolearn.com]网络课堂电子教材系列09考研高等数学第四章为对应的二阶齐次线性方程的

7、通解（为独立的任意常数）则是此二阶非齐次线性方程的通解。3．设与分别是与的特解，则是的特解三、二阶常系数齐次线性方程，为常数特征方程特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式（1）当，特征方程有两个不同的实根则方程的通解为（2）当，特征方程有二重根，则方程的通解为（3）当，特征方程有共轭复根，则方程的通解为四、二阶常系数非齐次线性方程方程其中为常数通解其中为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。所以关键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解如何求？我们根据的形式，先确定特解的形式，其中包含一些待定的系数，然后代

8、入方程确定这些系数就得到特解，常见的的形式和相对应地的形式如下：1．，其中为次多项式新东方在线[www.koolearn.com]网络课堂电子教材系列09考研高等数学第四章（1）若不是特征根，则令其中为待定系数。（2）若是特征方程的单根，则令（3）若是特征方程的重根，则令2．其中为次多项式