09考研高等数学强化讲义(第八章)全

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1、新东方在线[www.koolearn.com]网络课堂电子教材系列09考研高等数学第八章新东方考研高等数学电子教材主讲：汪诚义欢迎使用新东方在线电子教材教材说明：本教案是针对新东方在线使用的内部讲义，本讲义按章节提供。根据老师的意见，例题的解题步骤不给提供，在课件的板书上有显示，学员自己可以先做题目再听老师的讲解效果会更好。严禁翻印、在上网任意传播！第八章无穷级数（数学一和数学三）引言：所谓无穷级数就是无穷多项相加，它与有限项相加有本质不同，历史上曾经对一个无穷级数问题引起争论。例如：历史上曾有三种不同看法，得出三种不同的“和”第一种第二种第三种设则，，这

2、种争论说明对无穷多项相加，缺乏一种正确的认识。1）什么是无穷多项相加？如何考虑？2）无穷多项相加，是否一定有“和”？3）无穷多项相加，什么情形有结合律，什么情形有交换律等性质。因此对无穷级数的基本概念和性质需要作详细的讨论。25新东方在线[www.koolearn.com]网络课堂电子教材系列09考研高等数学第八章§8.1常数项级数（甲）内容要点一、基本概念与性质1．基本概念无穷多个数依次相加所得到的表达式称为数项级数（简称级数）。称为级数的前项的部分和，称为部分和数列。若（存在），则称级数是收敛的，且其和为，记作若不存在，则称级数是发散的，发散级数没有和

3、的概念。（注：在某些特殊含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。）口诀（46）：无穷级数不神秘，部分和后求极限。2．基本性质（1）如果和皆收敛，为常数，则收敛，且等于（2）在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。（3）收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不变。发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。（4）级数收敛的必要条件是（注：引言中提到的级数，具有不存在，因此收敛级数的必要条件不满足，发散。调和级数满足，但25新东方在线[www.

4、koolearn.com]网络课堂电子教材系列09考研高等数学第八章却是发散的，所以满足收敛级数的必要条件，而收敛性尚不能确定。）3．两类重要的级数（1）等比级数（几何级数）当时，收敛当时，发散（2）一级数当时，收敛，当时，发散（注：时，的和一般不作要求，但后面用特殊的方法可知）二、正项级数敛散性的判别法若则称为正项级数，这时所以是单调增加数列，它是否收敛就只取决于是否有上界，因此收敛有上界，这是正项级数比较判别法的基础，从而也是正项级数其它判别法的基础。1．比较判别法设，当时，皆成立，如果收敛，则收敛；如果发散，则发散。2．比较判别法的极限形式设，，若2

5、5新东方在线[www.koolearn.com]网络课堂电子教材系列09考研高等数学第八章1）当时，与同时收敛或同时发散。2）当时，若收敛，则收敛。3）当时，若收敛，则收敛。3．比值判别法（达朗倍尔）设，而1）当时，则收敛2）当时（包括），则发散3）当时，此判别法无效（注：如果不存在时，此判别法也无法用）4．根值判别法（柯西）（数学三不考）设，而1）当时，则收敛2）当时（包括），则发散3）当时，此判别法无效事实上，比值判别法和根值判别法都是与等比级数比较得出相应的结论，应用时，根据所给级数的形状有不同的选择，但它们在情形下都无能为力。数学上有更精细一些的判

6、别法，但较复杂，对考研来说不作要求。三、交错级数及其莱布尼兹判别法1．交错级数概念若，称为交错级数。2．莱布尼兹判别法25新东方在线[www.koolearn.com]网络课堂电子教材系列09考研高等数学第八章设交错级数满足：1）2），则收敛，且四、绝对收敛与条件收敛1．定理若收敛，则一定收敛；反之不然。2．定义若收敛，则称为绝对收敛；若收敛，而发散，则称为条件收敛。3．有关性质1）绝对收敛级数具有交换律，也即级数中无穷多项任意交换顺序，得到级数仍是绝对收敛，且其和不变。2）条件收敛级数的正项或负项构成的级数，即或一定是发散的。4．一类重要的级数设1）当时

7、，是绝对收敛的2）当时，是条件收敛的3）当时，是发散的（乙）典型例题25新东方在线[www.koolearn.com]网络课堂电子教材系列09考研高等数学第八章一、主要用部分和数列的极限讨论级数的敛散性例1．判定下列级数敛散性，若收敛并求级数的和。1）2）1）解：的，收敛[注]如果只判别收敛性不需要求和，那么可以用比较判别法的极限形式因为而,可知收敛，从而原级数收敛2）解：①②①-②得25新东方在线[www.koolearn.com]网络课堂电子教材系列09考研高等数学第八章，收敛例2．设数列收敛，级数收敛，证明收敛（数学三可以不看）证：由题意可知存在存在

8、而因此，于是级数是收敛的二、主要用判别法讨论级数的敛散性例1．设级