10考研高等数学强化讲义(1-2章)全

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1、第一章函数、极限、连续 §1.1函数（甲）内容要点一、函数的概念 1.定义，x为自变量，y为因变量或称为函数值为对应关系自变量在定义域里面取值的时候，所有的函数值的全体就称为值域。五要素：自变量、因变量、对应关系、定义域、值域口诀（1）：函数概念五要素；对应关系最核心。2.分段函数（考研中用得很多）例1：例2：例3：口诀（2）：分段函数分段点；左右运算要先行。3．反函数例：的反函数由于不单值，所以要看作和，它们的图像与一致。-60-如果改变符号，写成和，那么它们的图像要变。4．隐函数确定y与x的函数关系有些隐函数能化为显函数，例：，和。另外有些隐函数则不能化为显函数。例：二、基本初

2、等函数的概念、性质和图像（内容自己复习参考书，这里仅举例说明其重要性）例1：考察的图像-60-例2：考察因为指数函数的图像因此三、复合函数与初等函数1.复合函数（i）已知，，求（ii）已知，，求2.初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算或复合运算用一个表达式表示的函数原则上来说，分段函数不是初等函数四、考研数学中常出现的非初等函数1．用极限表示的函数（1）（2）2．用变上、下限积分表示的函数（1）其中连续，则（2）其中，可导，连续，则口诀（3）：变限积分是函数；出现之后先求导。五、函数的几种性质-60-1．有界性：（i）定义：设函数在内有定义，若存在正数，使都有，则称在上是有界的

3、。（ii）例：在（0，1）内无界，在（1/2，1）内有界2．奇偶性：（i）定义：设区间关于原点对称，若对，都有，则称在上是奇函数。若对，都有，则称在上是偶函数。（ii）图像对称性：奇函数的图象关于原点对称；偶函数图象关于轴对称。常用公式：口诀（4）：奇偶函数常遇到；对称性质不可忘。3．单调性：（i）定义：设在上有定义，若对任意，，都有则称在上是单调增加的[单调减少的]；若对任意，，都有，则称在上是单调不减[单调不增]（注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。）（ii）判别方法：在（a，b）内，若，则单调增加；若，则单调减少。口诀（5）：单调增加与减

4、少；先算导数正与负。4．周期性：（i）定义：设在上有定义，如果存在常数，使得任意，，都有，则称是周期函数，称为的周期。由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中最小正周期称为周期。（ii）例：周期为；周期为12是4和6的最小公倍数；不是周期函数，因为2和没有最小公倍数。-60-（乙）典型例题一、定义域与值域例1．设的定义域为求的定义域解：要求，则，当时，，，则当时，，也即或例2．求的值域，并求它的反函数。解：，，，，，，，，，所以的值域为反函数二、求复合函数有关表达式例1．设，求重复合解：，若，-60-则根据数学归纳法可知，对正整数，例2．已知，且，求解：令，，因此，，三、有

5、关四种性质例1．设，则下列结论正确的是（）（A）若为奇函数，则为偶函数（B）若为偶函数，则为奇函数（C）若为周期函数，则为周期函数（D）若为单调函数，则为单调函数解：（B）的反例；；（C）的反例;；(D)的反例内；（A）的证明：作变量替换则为奇函数，于是为偶函数-60-例2．求解：是奇函数，是奇函数，因此是奇函数于是例3．设，是恒大于零的可导函数，且，则当时，下列结论成立的是（）（A）（B）（C）（D）解：（A）等价，只需单调减少；（B）等价，只需单调增加；（C）只需单调减少（D）只需单调增加现在，所以单调减少，故（A）成立。-60-四、函数方程例1．设在上可导，，反函数为，且，求

6、。解：两边对求导得，于是，故，，由，得，则。口诀（6）：正反函数连续用；最后只留原变量。例2．设满足，求解：令，则，，，……，各式相加，得，因此，于是-60-或（为整数）口诀（7）：一步不行接力棒；最终处理见分晓。思考题设均为常数，求方程的一个解。解：令，则原方程相当于，而和都是奇函数，故为偶函数，于是只要，§1.2极限（甲）内容要点一、极限的概念与基本性质1．极限的概念（1）数列的极限（2）函数的极限；；；；2．极限的基本性质定理1（极限的唯一性）设，，则定理2（极限的不等式性质）设，若变化一定以后，总有，则反之，，则变化一定以后，有（注：当，情形也称为极限的保号性）定理3（极限

7、的局部有界性）设-60-则当变化一定以后，是有界的。定理4设，则（1）（2）（3）（4）（5）二、无穷小1．无穷小定义：若，则称为无穷小（注：无穷小与的变化过程有关，，当时为无穷小，而或其它时，不是无穷小）2．无穷大定义：任给，当变化一定以后，总有，则称为无穷大，记以。3．无穷小与无穷大的关系：在的同一个变化过程中，若为无穷大，则为无穷小，若为无穷小，且，则为无穷大。4．无穷小与极限的关系：，其中5．两个无穷小的比较设，，且（1），称是比高阶的无穷小，记以称是比低阶的