[理学]考研数学冲刺班讲义

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1、考研数学冲刺班讲义第一章函数极限连续考试内容要点1.数列、函数极限的定义以及性质2.数列、函数极限的计算①利用极限的四则混合运算法则②利用两个重要极限③利用夹逼准则④利用单调有界准则⑤利用洛必达法则⑥利用等价无穷小替换⑦利用泰勒公式或微分中值定理⑧利用定积分的定义(一般用于求和型的数列极限)其中，最常用的是洛必达法则以及等价无穷小替换。3.无穷小量的阶的比较4.函数连续的定义，函数间断点的判别5.运用闭区间上连续函数的性质进行证明题型训练题型1.1极限概念与性质1.(03，4)设均为非负数列，且，

2、，，则必有（D）。(A)对任意成立。(B)对任意成立。(C)极限不存在。(D)极限不存在。解答：(A)不对！根据极限保不等式性，存在一个常数，当，有，但不一定对所有的，都有。例如，取，，则，。(B)B选项与A选项道理是相同的。(C)可能存在，也可能不存在的。例如，取，则。又例如取，，则，即不存在。(D)无穷大量有一条性质(以数列为例)：设为无穷大量，且存在一个以及，使得当时，总有，则为无穷大量。这很容易用无穷大量定义70证明。特别地，若有非零极限，则为无穷大量。这可以由上述性质以及极限的保不等式性

3、得证。这样，不存在。D正确。点评：所考核知识点为极限的保不等式性，无穷大量的性质等。2．设，且在的一个邻域内，有，则下列命题(1)；(2)；(3)若，则；(4)若，则；中正确的个数是(D)(A)0；(B)2；(C)3；(D)4；解答：在极限性质中有这么一条(以函数极限为例)：假设在的某个去心邻域内，有定义，也就是落在定义域中。，，则。对于本题，我们先后用了极限，，导数定义：以及复合函数的极限性质。于是，4个选项都正确。点评：所考核的知识点为复合函数的极限性质以及两个重要极限以及导数的定义。3.设函

4、数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是（）(A)若收敛，则收敛。(B)若单调，则收敛。(C)若收敛，则收敛。(D)若单调，则收敛。解答：(A)选项与函数极限有关。它说的是自变量有极限，函数就有极限。这当然不一定了，就算是单调有界函数也不行。例如，我们取，显然，单调递增，且有界。但在处没有极限。我们取，则70，。这样，。于是，数列不收敛。(B)由于单调，而函数也单调，因此，数列也单调。又有界，因此，数列有界。于是，数列单调有界，必有极限。B选项正确。(C)C选项显然就不对了。我们就举选项A中所举的

5、反例。，又取，则。但显然数列并不收敛。(D)至于D选项，那就更错了。由于单调，只需要数列单调，就会单调。但单调不代表得收敛。反例，如A，C中出现的，取，则单调，但不收敛。点评：考查数列极限与函数极限的关系，以及单调有界数列必有极限这一准则。题型1.2极限的计算一函数极限的计算（求未定式的极限）4．(03，4)求极限=__________。解答：于是，。点评：幂指函数求极限，往往先求函数对数的极限。5．(06，4)求极限=270解答：点评：请记住一些常用的等价无穷小：，，………6.(08，9)求极限

6、。解答：法一法二其中，或者，于是。法三法四点评：同一问题，可用多种方法解决。这里可用洛必达法则结合等价无穷小替换。对此题，还可用和差化积公式，用泰勒公式或微分中值定理。请记熟数学公式，必要时它将大展身手。7.(10，4)极限（）70(A)1(B)(C)(D)解答：这是一个型极限问题。我们一般的做法是配凑或的形式。点评：求极限的问题，先定类型，后定方法。此为型极限，可用配凑两类重要极限的方法。但每次都这样做一下很耗时间，我们有结论在此：设，则。二数列极限的计算8.(06,12)设数列满足，()。(1

7、)证明存在，并求之。(2)计算。解答：(1)，因此，，，，……，依此类推，。因此，为单调递减有界数列。因此，必有极限。记，在两边取极限，由的连续性，得到。由于当且仅当，因此，。因此，。(2)由于，，因此70点评：利用单调有界准则求极限一般是用于递推型数列(函数连续)。其步骤是证明单调有界，从而数列有极限，设为，而后在公式两边取极限，根据函数的连续性，得到。从中可能得到不止一个根，这时候往往要结合极限的性质，例如保不等式性，判断应该取哪一个根。另外，若函数单调不减的，若，则，即；于是，，；……依此类

8、推，有，；若，则，即；于是，，；……依此类推，有，。总之，数列是单调不减的。若是严格单调递减的，若，则，即；于是，，即；于是，，即；……依此类推，可知不具有单调性；若，结论也是一样的，不具有单调性。这时候单调有界准则不能用，必须另寻它法。这类方法只要有两种。一是，我们假设存在极限，在方程两边取极限，得方程，求得，后证明。特别地，如果能证明存在一个，使得，，则。特别是，若，则，则。二是，若能证明，则。若是单调递减的，则是单调递增的。于是，若，则，即；若，则。也就是说：与的符号总是一样