北京大学数学物理方法(下)课件_12 数学物理方程和定解.pdf

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1、12数学物理方程和定解条件数学物理方程通常指从物理学及其它学科中所产生的偏微分方程嬮如果处理的问题可以当成质点嬬则质点的物理性质嬨如质点的位置嬬速度等嬩完全可以用数来表示嬬质点的物理性质随时间的变化则是时间的函数嬬其变化的规律则为对时间的常微分方程嬨如牛顿定律嬩嬮但实际的问题常常是所谓介质嬬它充满空间的每一个点嬮我们用坐标嬨如直角坐标嬨x;y;z嬩嬩来表示介质的每一个点嬬则介质的性质当然表示成为坐标的函数嬨如温度u嬨x;y;z嬩嬩嬮介质的性质随时间的变化则表为坐标和时间的函数嬨如u嬨x;y;z;t嬩嬩嬬其变化的规律就是偏微分方程嬮12.1振动和波Example1

2、2.1嬨弦的横振动嬩设有一个完全柔软的均匀的弦,沿水平方向绷紧.而后以某种方法激发,使弦在同一平面上作横向小振动.我们来求弦的横振动所满足的方程.uT嬨x嬫孤x嬩2u嬨x嬫孤x嬩u嬨x嬩1T嬨x嬩Oxx嬫孤xxSolution取弦的平衡位置为x轴嬬且令一个端点为x嬽嬰嬬另一个端点为x嬽l嬮设u嬨x;t嬩是坐标为x的弦上一点在t时刻的横向位移嬮在弦上隔离出一小段孤x嬮这一小段弦在两个端点x及x嬫孤x处受到张力作用分别为T1嬬T2嬬与水平方向的夹角1嬬2嬮因为弦是完全柔软的嬬故张力的方向沿着弦的方向嬮列出运动方程水平方向嬺T2季孯孳2T1季孯孳1嬽嬰嬨

3、嬱嬩@2u垂直方向嬺T2孳孩孮2T1孳孩孮1嬽孤m2嬨嬲嬩@t在小振动条件下嬰季孯孳嬱@u孳孩孮孴孡孮嬽@x由嬨嬱嬩T1嬽T2嬽T代入嬨嬲嬩"#@u@u@2u@2uT嬽T孤x嬽孤x@x@x@x2@t2x+dxx其中孤m嬽孤x嬬为弦的线密度嬨单位长度的质量嬩嬮定义sTa嬽嬱得方程@2u@2ua2嬽嬰嬨嬳嬩@t2@x2T与x无关嬮在小振动时嬬还可以证明张力T与t无关嬮因为这一段弦的伸长为p孤s嬽孤u2嬫孤x2孤x2s322@u嬱@u嬽4嬱嬫嬱5孤x孤x@x嬲@x在小振动近似下嬬准确到@u的一级项@x孤s嬰因此按

4、照孈孯孯孫孥定律嬬长度不变嬬则张力T不随时间变化嬮所以在振动方程中嬬T为常数嬬a为常数嬮弦的受迫横振动如果弦在横向还受到外力作用嬬设f为单位长度所受到的外力嬮uf孤xT嬨x嬫孤x嬩2u嬨x嬫孤x嬩u嬨x嬩1T嬨x嬩Oxx嬫孤xx仿照前面推导@2u@2uT孤x嬫f孤x嬽孤x@x2@t2这时嬬方程含有非齐次项@2u@2ufa2嬽嬨嬴嬩@t2@x2f其中非齐次项是单位质量所受外力嬮Example12.2嬨杆的纵振动嬩考虑一均匀细杆,沿杆长方向作小振动.P嬨x;t嬩SP嬨x嬫孤x;t嬩Suu嬫孤uxx嬫孤xSolution取杆长方向为x轴方向嬬杆上各点均用其

5、平衡位置的x坐标标记嬮在时刻t嬬x点偏离平衡位置的位移为u嬨x;t嬩嬮在杆上隔离出一小段嬨x;x嬫孤x嬩嬮设P嬨x;t嬩为x点在t时刻嬬单位面积所收到的弹性力嬨应力嬩嬬则@2uP嬨x嬫孤x;t嬩SP嬨x;t嬩S嬽孤m@t2嬲孤m嬽S孤x嬬为杆的密度嬮于是@P@2uS孤x嬽S孤x@x@t2@P@2u嬽@x@t2小振动时嬬根据孈孯孯孫孥定律嬬应力P与应变嬨单位长度的伸长嬩@u成正比@x@uP嬽E@xE为杆的孙孯孵孮孧模量嬮可得杆的纵振动方程@2u@2ua2嬽嬰@t2@x2pa嬽E我们看到横振动和纵振动满足的方程为偏微分方程嬬它们的形式完全一样嬬这类方程

6、统称为波动方程嬮更一般地嬬在三维空间中的波动方程嬨例如电磁波满足的方程嬩为@2ua2r2u嬽嬰嬨嬵嬩@t2其中@2@2@2r2嬫嬫嬨嬶嬩@x2@y2@z2称为孌孡孰孬孡季孥算符嬮12.2传导和扩散Example12.3嬨热传导方程嬩设有一块连续介质,如果温度不均匀,在介质中有一定的温度差,就一定会有热量从高温部分传递到低温部分.通过热量传递使各处温度趋于一致,最终达到热平衡.Solution取定一直角坐标系嬬并用u嬨x;y;z;t嬩表示介质内坐标为嬨x;y;z嬩的点在t时刻的温度嬮实验表明嬬单位时间内通过垂直于x方向单位面积的热量q与温度在x方向的变化率@u

7、成正比x@x@uqx嬽k@x同理@uqy嬽k@y@uqz嬽k@zk为介质的导热率嬮此即孆孯孵孲孩孥孲定律嬮或写成矢量形式q嬽kru嬨嬷嬩热流密度矢量q与温度梯度ru成正比嬮嬳现推导热传导方程嬮设想在介质中隔离出一个小立方体嬬立方体的边长分别为孤x嬬孤y嬬孤z嬬六条边分别与坐标轴平行嬮z孤z孤x孤yyx先看孤t时间内沿x方向流入立方体的热量孛嬨qx嬩x嬨qx嬩x+dx孝孤y孤z孤t"#@u@u嬽kk孤y孤z孤t@x@xx+dxx@@u嬽k孤x孤y孤z孤t@x@x对于均匀介质嬬k为一常数@2u孛嬨qx嬩x嬨qx嬩x+dx孝孤y孤z孤t嬽k2

8、孤x孤y孤z孤t@x同理

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