引入参数证不等式.pdf

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1、38数学通讯　　　　　　　　　　　　　　1998年第12期引入参数证不等式周永国(湖南沅陵一中　419600)　　证明不等式的途径较多,本文意在介绍　　证　设k>0,则n一种证明不等式的新方法.即合理引入参数,n∑k(nai+1)i=1利用平均值不等式将问题转化为求参数的最∑nai+1=≤i=1k值.此法思路自然,操作简单,易于学生接受n∑(k+nai+1)和掌握.兹举几例说明.i=1n2=(k+),例1设非零实数组ai,bi(i=1,2,⋯,2k2knn),则n2∴∑nai+1≤[(k+)]minnnni=12k222∑ai∑bi≥(∑aibi).i=1i=1

2、i=1=2n.这是大家熟悉的Cauchy不等式,其证注:例2中取n=4,即得1980年列宁格法较多,但下面的证法却使人耳目一新.勒数学竞赛题的加强.证　设k≠0,由平均值不等式,得2n2n1例3求证:sinA+cosA≥n-1(n∈nn2222∑(ai+kbi)≥2k∑aibi,N).i=1i=1nnn证　当n=1时,不等式成立显然.当n222即　∑ai≥2k∑aibi-k∑bi.i=1i=1i=1n>1时,设0

3、≥nkn-1sin2A,i=1i=1i=1n2nnn-122(cosA)+(n-1)k≥nkcosA.(∑aibi)i=12n2nn-1n=n.于是sinA+cosA≥nk-2(n-1)k=2∑bikn-1[n-2(n-1)k],i=1nnn∴sin2n2nk-1[n-2(n-1)·A+cosA≥{k222故　∑ai∑bi≥(∑aibi).i=1i=1i=1k]}max.n+n-11n-1例2设ai∈R(i=1,2,⋯,n),且∑ai而k[n-2(n-1)k]=n-1(2k)[n-2(ni=12n-1)k]=1,求证:∑nai+1≤2n.i=11998年第12期

4、　　　　　　　　　　　　　　数学通讯39n-1个3332sinAsinBsinCsinC=1,则++≥1.12k+⋯+2k+n-2(n-1)kn1sinBsinCsinA≤n-1[]=n-1,2n2《数学通报》(1994年10月号问题912)2n2n1∴sinA+cosA≥n-1.+2例5设ai,bi∈R(i=1,2,⋯,n),r≥注:例3中取n=5,即得前苏联竞赛题.nrn(ai)例r∑4(shapiro不等式)若0

5、.arri=11-ain-a(i+b2)≥2k∑2∑ikai.i=1bii=1证　设k≠0,则nn于是由○3式,得ai2nnn∑[+kai(1-ai)]≥2k∑ai.arrri=11-aii=1i≥2k∑221-2∑ai-k∑bi≥2ni=1bii=1i=1由幂平均不等式易得nnnnr2m1-m(∑m·(∑ai)2k-k∑bi,∑xi≥nxi)○3i=1i=1i=1i=1nn+r其中m≥1,xi∈R(i=1,2,⋯,n).于是ai1-rr∴∑≥[2n2(∑ai)2k-i=1bii=1nnnai2n∑≥2k∑ai-k∑ai(1-ai)≥ri=11-aii=1i=1

6、n(∑ai)22-ri=112k∑bi]max=n·n.2ak-a(1-a)k,故i=1n∑bini=1ai≥[2ak-a(1-12]na例5的内涵十分丰富,下面几个不等式∑a)kmax=.i=11-ainn-a均为其特例.类似可以证明:n+K+1.设L,K∈R,0

7、=1668).nnn2ai12.已知P为△ABC内任意一点,BC==∑bi,求证∑≥∑ai.i=1i=1ai+bi2i=1a,CA=b,AB=c,点P到△ABC的三边(1991年亚太地区数学竞赛题)BC,CA,AB的距离分别为d1,d2,d3.求证:3.设a,b,c是三角形的三边,且2S=a2nnnabc(a+b+c)abc2n-2n-1++≥.+b+c,则++≥()Sd1d2d32S△ABCb+cc+aa+b3(n≥1).(第28届IMO试题)(第22届IMO试题)4.例5中取bi=ai(i=1,2,⋯,n),则得223.设A,B,C为锐角,且sinA+sin

8、B+不等式○3.