巧用构造法 妙证不等式-论文.pdf

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1、2015年8月1日理科考试研究·数学版巧用构造法妙证不等式浙江省湖州中学313000黄淑红学习数学必须善于寻求解题方法，即发现一条摆脱疑难、解设o=~／1++⋯+(ne绕过障碍的途径，实现从已知到未知的转化过程．在解题过程N)，构造数列{}，令％=a一}，则中，由于某种需要，要把题设条件中的关系构造出来，要么将关系设想在某个模型之上得到实现，要么将已知条件经过适当的“一一=仃。n“一一。n一一—(——±——12(——一±2+—(—。±广2一逻辑组合而构造出一种新的形式，从而使问题获得解决．在这种思维过

2、程中，对已有知识和方法采取分解、组合、变换、类比、~／(n+1)(n+2)一(n+1)>0)．限定、推广等手段进行思维的再创造，构成新的式子或图形来所以+>，{}为单调递增数列，首相=√一1为帮助解题的方法称之为构造法．用构造法解题的巧妙之处在于最小值．不是直接去解所给问题A，而是构造一个与问题A有关的辅助问题曰，这里引出问题并非为了它本身，而是通过它帮助解决所以>。：一1>0，即。>，问题A．如果问题B比问题A更简单更直观，那么这种思考问题的方法就可能获得成功．又令，，：％一，数学中有许多相似性，如

3、数式相似，图形相似，命题结论的则y一y：。一。+一：相似等，利用这些相似性，通过构造辅助模型，促进转化，以期不等式得到证明．可以构造函数、方程、数列、向量、复数和图形v／i丽一<0，等数学模型．不等式的证法很多，而构造法主要是从不等式的结构和特点出发，利用已学过的知识作为数学模型，实现问题所以Y

4、证明不等式．例1证明：对于任意的，Y，z∈(0，1)，不等式·(1一Y)综上所述，<8<(∈N·)．+Y·(1一)+·(1一)<1成立．证明设-厂()=(1一，，一z)·+y·(1一)+z，显然该用构造单调数列证明不等式，若不等式的一边为和(积)函数是以为主元的一次函数．式，则构造数列{n}，使其通项等于和(积)式与另一端的差当∈(0，1)时)是单调函数，(商)，然后通过比较法确定数列{}的单调性，利用数列的单且，(0)=y—Y·z+z=(Y一1)·(1一)+1<1，调性即可使不等式获证．，(1)=1

5、～y·<1．三、对某些不等式。根据条件和结论，可将其转化为向量形所以，当∈(0，1)时)的最大值小于1，式，利用向量数量积及不等关系m·H≤IJ，lIl，ll。使问题得到即·(1一Y)+y·(1一z)+·(1一)<1．解决．侈42j[口果(+,／x+1)(Y+~／，，+1)：1，么+Y例4已知。，6，cR，求证：++≥=0．0+b+c证明构造函数-厂()=lg(+,／x+1)(∈R)．可以2‘证明函数厂()在R上是奇函数且单调递增．证明设肌=‘)’又(+,／x+1)()，+,／y+1)=1，b，，b、

6、，七cac毡所以I厂()+，(y)=lg(+,／x+1)+lg(Y+~／+1)，l=(~／6+c，~／。+c，口+b)，=lg[(+~／+1)(Y+)，+1)]=lgl=0．所以-厂()=一Y)，即，()：一)，则++南：I册I所以=一，，，最口+Y=0．(：塑2：一(垡±±12：一些±±!通过构造函数，利用函数单调性和奇偶性，把一些看似与l，lI一2(n+b+c)一2‘函数无缘的问题转化为函数问题来解决，思路灵活新颖，简洁利用向量虽是一种构造性的证明方法，但它与传统的综合巧妙，可出奇制胜．法有很大不

7、同，能避免繁杂的凑配技巧，使证明过程既直观又二、有些不等式分析可知它与数列有关，可构造出相应的容易接受．数列，再利用数列的单调性来研究．四、有些不等式若采用通法解很繁琐。用变量替换法又不可行，利用数形结合的思想方法将抽象的式子用形表示。则使例3证明不等式}<+了+⋯+问题中的各变量关系更具体明确。使问题简明直观．／．1、2丁<—对所有正整数n成立．例5解不等式一+2x>．分析~／1·2+2·3+⋯+n(n+1)是一个与n有分析本题若转化为不等式组来解很繁琐，利用数形结关的量，将它与左右两端作差构造出相

8、应的数列，再利用数列合的思想方法将抽象的式子用几何图形表示，则使问题变得直的单调性来研究．观明了．·2·理科考试研究·数学版2015年8月1日(1)解：因为f()：(e)=一e～，解令y=、／，==_与y=，所以切线Z的斜率为一e，它们对应的图象为半圆(一1)+J，故切线Z的方程为y—e～=一e(—t)，=1(y≥o)与直线y=1，问题转即e～戈+Y—e(t+1)=0．化为(一1)+y2=1(Y≥0)的图象0j(2)证明：令Y=0得=t+1，在)，=1上