发散思维 妙证连篇不等式

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1、发散思维妙证连篇江西谭殿韧在高中数学中.不等式的证明没有固定的模式可以套用.它方法灵活多变.技巧性强.综合性强.特别在不等式中,几乎与函数，三角函数,向量及立体几何等所有知识点联系起来。以下面一道不等式题为例，希望能帮同学们开拓视野.打开思路.(一)应用不等式的性质证明;1)应用已知”1”化简方法1:由不等式可知.左边为二次的,右边为常数.为了达到比较的目的.右边也要化成二次的,于是可以利用如下:证明:所以:(当”a=b=c”时”=”成立)2)应用分析法方法2:要证即即证展开有:()又(),明显成立故命题得证。3﹞应用不等式的性

2、质方法3：因为①②，③由①+②+③得：∴∴以上就是用一般的性质来证明.我们还可以用减元换元来证明.(二)应用减元换元法证明1)应用减元法证明方法4:当b=且a=-时.”=”成立即时,”=”成立2)应用一般换元法证明方法5:分析:利用.可以令再运算即可设,则有:即”=”成立)方法6:设∵∴∴∵∴=+s2+t2+r2当且仅当s=t=r=0时取等号，∴x2+y2+z2.3)应用三角函数换元法证明方法7:∴除了应用不等式的性质证明及应用减元换元法证明外,还可以应用函数来证明.现举例如下:(三)应用构造函数来证明!)设字母为变量构造函数方

3、法8:分析:,可以利用减少字母数.a+b+c=1即要证明即证明可以令左边为:即求即可证明:,令(当x=时,”=”成立)2)构造二次函数①构造二次函数的恒成立模型方法9:[分析]:要证即证明:构造二次函数法:即,所以:②构造二次函数的一般模型方法10:另:构造函数∵.∴∵∴化简即可得方法11构造凸函数，，，，则有：，故又∴，故(四)构造空间向量:方法12:设,且又由向量公式:又故(五)应用解析几何-方法13:分析:构造空间坐标,则表示一个平面,如右下图而令=其中R表示在平面上找一点使得球Y的半径最短即原点到平面的最短距离,即过原点

4、作平面的垂线,利用等体积方法求即可。证：∵∴∵由题知为等边三角形，可求得∴①∵∴②由①②有：R=则∴(六)应用立体几何方法14：设长方体的边长依次为a,b,c.且则体对角线为┅┅┅┅┅①我们知道当长方体为正方体时，即此时体对角线最短，故┅┅┉┉②由①②有：除了以上方法外,我们还有另一种方法------柯西不等式(六)应用柯西不等式方法15:[介绍柯西不等式]::对任意实数有:其中当且仅当=时,”=”可以取等号即.或其中当且仅当=时,”=”可以取等号即.(证明柯西不等式:设()对恒成立且,则)于是有:即:不等式的证明在高中是个难点

5、,这里方法多,题目一般比较难,除了以上我们介绍的方法外,还有比较法,反证法,放缩法等方法.练习;试用以上各种方法证明下列问题:(1)(2)(通信地址：江西余干蓝天实验学校335100谭殿韧)例2证明若x,y,z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2=，则x,y,z,∈[0,]。证法一由x+y+z=1，x2+y2+z2=，得：x2+y2+(1－x－y)2=整理成关于y的一元二次方程得：2y2－2(1－x)y+2x2－2x－=0∵y∈R，故Δ≥04(1－x)2－4×2(2x2－2x－)≥0解之得：0≤x≤∴x∈[0,]同理可得：y

6、,z∈[0,]证法二设x=+x′，y=+y′,z=+z′，则x′+y′+z′=0于是故，x′∈[－，]，x∈[0,]，同理，y,z∈[0,]证法三反证法设x、y、z三数中若有负数，不妨设x<0，则x2>0，=x2+y2+z2≥x2+=+x2=x2－x+>，矛盾。设x,y,z三数中若有最大者大于，不妨设x>，则：=x2+y2+z2≥x2+=x2+=x2－x+=x·(x－)+>，矛盾。故x,y,z∈[0,]。注：本题证法甚多，最易接受的方法是证法一的判别式法，因为该法思路明晰，易于操作，技巧性不强。