恰当运用放缩法 巧证导数不等式.pdf

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1、高中数学教与学2017年恰当运用放缩法巧证导数不等式苏明亮(河南省郑州市第四十四中学，450000)放缩法是高中数学中一种重要的数学方既有根式又有分式，因此h'(x)的零点及相应法，尤其在证明不等式时经常用到．由于近几区间上的符号很难确定，而通过对槡x+1进年数列不等式在高考中的难度要求降低，放行放缩处理，使问题得到解决．上面的解法缩法的应用重点也逐渐从证明数列不等式转x中，难点在用基本不等式证明槡x+1＜+移到导数压轴题中，尤其是在导数不等式证2明中更是大放异彩．下面试举几例，以供大家1，亦即是将抛

2、物线弧y=槡x+1放大化简为参考．x直线段y=+1，而该线段正是抛物线弧y2一、利用基本不等式放缩，化曲为直=槡x+1在左端点(0，1)处的切线．这种“化例1设f(x)=ln(x+1)+槡x+1－1．曲为直”的方法是我们用放缩法处理函数问9x证明:当0＜x＜2时，f(x)＜．x+6题的常用方法．证明由基本不等式，当x＞0时，二、利用单调性放缩，化动为静x例2已知函数f(x)=e－ln(x+m)．2槡(x+1)×1＜x+2，当m≤2时，证明f(x)＞0．x故槡x+1＜+1，2证法1f(x)的定义域为(－

3、m，+∞)，xx1(x+m)e－1∴f(x)=ln(x+1)+槡x+1－1f'(x)=e－=．x+mx+mxx＜ln(x+1)+．设g(x)=(x+m)e－1，则2xg'(x)=(x+m+1)e＞0，x9x记h(x)=ln(x+1)+2－x+6，所以g(x)在(－m，+∞)内单调递增．2－m1154又g(－m)=－1＜0，g(2－m)=2e则h'(x)=+－2x+12(x+6)－1＞2×1－1＞0，故g(x)=0在(－m，2+∞)内有唯一实根x．x(x+15x－36)0=．22(x+1)(x+6)当x

4、∈(－m，x0)时，g(x)＜0，f'(x)＜当0＜x＜2时，h'(x)＜0，所以h(x)在0;当x∈(x0，+∞)时，g(x)＞0，f'(x)＞0，(0，2)内是减函数，故h(x)＜h(0)=0，得从而f(x)取得最小值为f(x0)．x9x由g(x0)=0，得ln(x+1)+＜．2x+61x0e=，ln(x+m)=－x，009xx0+m从而f(x)＜，得证．x+61故f(x0)=+x0评注本题若直接构造函数h(x)=x0+m9x1f(x)－，对h(x)进行求导，由于h'(x)中=+(x0+m)－mx

5、+6x0+m·18·第7期高中数学教与学≥2－m≥0．(1)求a，b;x01(2)证明:f(x)＞1．取等号的条件是x0+m=1，e=及mx+m0分析第(1)问易知a=1，b=2．第(2)=2同时成立，这显然不可能，所以f(x)＞0，0问难度较大，主要考查考生运用导数知识证故f(x)＞0．明不等式的能力及运算求解能力，是近年来证法2因为y=lnx是增函数，而m≤高考压轴题的热点问题．证法较多，下面笔者2，所以ln(x+2)≥ln(x+m)，故只需证明当利用函数不等式来对第(2)问进行证明．m=2时，f

6、(x)＞0即可．证明由ex≥x+1，得ex－1≥x，x1即ex≥ex，当m=2时，f'(x)=e－在(－2，x+21－x+∞)内单调递增．ex≥e．①又f'(－1)＜0，f'(0)＞0，故f'(x)=当且仅当x=1时取等号．0在(－2，+∞)内有唯一实根x0，且x0∈11又由ex－1≥x，得≥e1－x，故e1－ex≤ex，(－1，0)．当x∈(－2，x)时，f'(x)＜0;当xx0∈(x0，+∞)时，f'(x)＞0，从而f(x)最小值1两边取自然对数，得ln(ex)≥1－，即ex为f(x0)．1由f'

7、(x)=0，得lnx+≥0，②exx01e=，ln(x+2)=－x，001x0+2当且仅当x=时取等号．e1故f(x)≥f(x0)=x+2+x0由于①、②式等号不能同时成立，两式022－xx(x0+1)相加得lnx+＞e，两边同乘以e，得f(x)=＞0．exx+20＞1．综上，当m≤2时，f(x)＞0．x评注本题证明中利用函数不等式e≥评注借助导数研究函数单调性是证明x+1，并进行适当变形，结合不等式性质进行初等不等式的重要方法．证法1直接求导证证明，从而避免了繁杂的计算，过程简洁自明，由于其含有参数

8、m，因而在判断g(x)的零然，易于理解．点和求f(x)取得最小值f(x0)时显得较为麻例4(2016年山东高考题)已知烦;证法2利用对数函数y=lnx的单调性化2x－1动为静，证法显得简单明了．此外，本题也是f(x)=a(x－lnx)+2，a∈Ｒ．x处理函数隐零点问题的一个经典范例．(1)讨论f(x)的单调性;三、活用函数不等式放缩，化繁为简3(2)当a=1时，证明f(x)＞f'(x)+有两个常用的函数不等式:2xe≥x+1(x∈Ｒ);对于任意的x∈［1