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1、84数学通讯 2001年第2,4期参数方程与极坐标问题韩 苏(杭州师院数学系,浙江 杭州 310036)中图分类号:O122.2 文献标识码:C 文章编号:0488-7395(2001)2,4-0084-03221 参数方程代入(2),得25x-36xy+13y=4.参数方程是解析几何的重要内容.利用参数法这就是所求的轨迹方程.求轨迹方程,或者利用轨迹的参数方程来解题,有时合理选用参数,利用参数法求动点轨迹方程是会显得十分灵活和便利.一个十分有效的方法.例1(1989年全
2、国高中数学联赛试题)若M例3(1993年全国高中数学联赛试题)实数t1+tx,y满足4x2-5xy+4y2=5,设s=x2+y2,则1={z
3、z=1+t+it,t∈R,t≠-1,t≠0},N=smax1{z
4、z=2[cos(arcsint)+icos(arccost)],t∈R,
5、t
6、+的值为.smin≤1},则N∩N中元素的个数为()x=scosθ,22(A)0.(B)1.(C)2.(D)4.解 显然s=x+y>0,设y=ssinθ.tx=代入4x2-5xy+4y2=5,1+t解M中的点在曲线M:(t∈R,
7、t8s-101+t得sin2θ=,y=5st8s-10≠-1,t≠0)上,N中的点在曲线N:于是≤1,5s2x=2(1-t)1010(t∈R,
8、t
9、≤1)上,曲线M和N解之,得≤s≤.133y=2t1010∴smax=,smin=.的普通方程是313M:xy=1(x≠0,1),∴1+1=3+13=8.smaxsmin1010522N:x+y=2(0≤x≤2).例4 有一定长线段l21于是曲线M和N的交点的横坐标满足x+2=2,(l≥1),其两端在抛物线yx2=x上移动,试求:即x=±1,故M∩N=ª,选(A)
10、.1)此线段中点P的轨例2 考虑一端在直线y=x上,另一端在直线迹方程;y=2x上,而其长为4的一切线段,求这些线段中点2)距x轴最低点P之的轨迹方程.坐标.图1 例4图解 设连接A(a,a),B(b,2b)的线段之中点解1)如图1,设
11、P1P2
12、=l,我们选P1P2与P(x,y),则x轴的夹角θ为参数,设P1(x1,y1),P2(x2,y2),a+ba+2bx=,y=(1)22222P(x,y),则y1=x1,y2=x2,且x2-x1=lcosθ,x2222θ.(a-b)+(a-2b)=16(2)-x1=l
13、sin由(1)解得a=2(2x-y),b=2(y-x).收稿日期:2000-11-152001年第2,4期 数学通讯852221
14、AP
15、=
16、OP
17、+
18、OA
19、-2
20、OP
21、·
22、OA
23、cosθx1=(tgθ-lcosθ),22于是可得=(1+cosθ)+4-2·2(1+cosθ)cosθ12x2=(tgθ+lcosθ).=5-2cosθ-3cosθ2x1+x21=16-3(cosθ+1)2≤16.x==tgθ,33322从而有1y1+y21222当θ=arccos(-3)时上式取等号,故
24、A
25、P
26、的y==(tgθ+lcosθ).2416此即P的轨迹(参数)方程.最大值是.易知点A在曲线c上,当θ从0增32)由于y=1(tg2θ+l2cos2θ)1164大到arccos(-)时,
27、AP
28、由0增大到.332421lcosθ-cosθ+1=(2)164cosθ∴曲线c扫过的图形是以A为圆心,为3221(lcosθ-1)16=4[2+2l-1],半径的圆所围部分,它的面积是π.cosθ321x2故当lcosθ-1=0,即cosθ=±时y有最小例7 已知双曲线2-la11y2值,ymin=4(2l-1).此
29、时,x=2tgθ=2=1(b>a>0)的弦PQb1±l-1.所以距x轴最低点P的坐标为在中心O张直角,试求2S△OPQ的最小值.11(±l-1,(2l-1)).24解 如图2,以双曲线图2 例7图2 极坐标问题中心O为极点,x轴正半轴解析几何就是用代数方法研究几何问题,建立为极轴建立坐标系,那么双曲线方程为2222坐标系是把几何问题转化为代数问题的第一步,所ρcosθρsinθ2=1+2.ab以合理地选择坐标系十分重要.例如,在极坐标系ππep设P(ρ1,θ),Q(ρ2,θ+),其中-<θ<中,圆维曲线便有统
30、一的方程ρ=,它给解221-ecosθ22π2ab决圆锥曲线中某些问题所带来的方便是不言自明2.则
31、OP
32、=ρ1>0,ρ1=2222;bcosθ-asinθ的.因此,适当地选取极坐标系,有时对解题是很有222ab好处的.
33、OQ
34、=ρ2>0,ρ2=b2sin2θ-a2cos2θ.例5(1982年全国高中数学联赛试题)极坐标11由于S△OPQ=
35、OP
36、·
37、OQ
38、=ρ1ρ2,122方程ρ=所确定的曲线是(
