极坐标与参数方程知识讲解.pdf

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1、选修4-4极坐标系和参数方程极坐标系和参数方程是“平面解析几何初步”和“圆锥曲线与方程”的延续与拓广，是解析几何与函数、三角函数、向量等内容的综合应用。这部分内容作为高考的选考内容，在考试中所占的分值为7分左右，但在培养综合应用基础知识的能力，扩大解题思路，灵活解题上作用很大．特别是参数方程中体现的参数思想，常要渗透到高考综合题的解题过程．以课本知识为主，不要刻意加大难度．本单元的重点是极坐标系和利用参数求轨迹的参数方程．极坐标应重点放在极坐标化为直角坐标，并熟练掌握直线、圆的极坐标方程与曲线之间的对应关系．参数方程

2、的重点是普通方程与参数方程的互化，尤其是参数方程化为普通方程．参数思想在本单元的体现是简化运算，减少未知量的个数，在轨迹问题、最值、定值问题的解决中起到重要的作用．由于参数法既与三角函数图象的各种变换交汇，又与解析几何的轨迹方程的求解有关，因此必须加强参数法的应用意识，体会参数法的特点，进一步体验参数法解决实际问题的高效．注意本单元内容和三角函数及平面解析几何的交汇。一、坐标系和极坐标方程坐标系是解析几何的基础，有了坐标系，使几何问题代数化成为可能，它是实现几何图形与代数形式互相转化的基础，使精确刻画几何图形的位置和

3、物体运动的轨迹成为可能。在不同的坐标系中，同一个几何图形可以有不同的表现形式，这使解决问题的方法有了更多的选择。（一）伸缩变换：设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换xx(0):的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的yy(0)坐标伸缩变换，简称伸缩变换．平面直角坐标系中图象的变换(x＋1)2(y－1)2例1通过平面直角坐标系中的平移变换与伸缩变换，可以把椭圆＋＝1变为中94心在原点的单位圆，求上述平移变换与伸缩变换，以及这两种变换合成

4、的变换。【思路】把中心不在原点的椭圆通过平移变换化为中心在原点的椭圆，再通过伸缩变换化为中心在原点的单位圆．x′＝x＋1，(x＋1)2(y－1)2x′2y′2【解答】先通过平移变换把椭圆＋＝1变为椭圆＋＝1，y′＝y－19494第1页共17页x′x″＝，3x′2y′2再通过伸缩变换把椭圆＋＝1变为单位圆x″2＋y″2＝1.由上述两种变换合成y′y″＝942x＋1x″＝，3的变换是y－1.y″＝.2（二）极坐标系如右图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单

5、位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.（三）极坐标1、定义：设M是平面内一点,极点O与点M的距离

6、OM

7、叫做点M的极径,记为;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为.有序数对(,)叫做点M的极坐标,记作M(,).一般地,不作特殊说明时,我们认为0,

8、可取任意实数.（说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值。）特别地,当点M在极点时,它的极坐标为(0,)(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)表示;同时,极坐标(,)表示的点也是唯一确定的.2、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应惟一点P(，)，但反过来，平面内

9、任一个点P的极坐标却不是惟一的．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P(，)（极点除外）的全部坐标为(,＋2k)或（，＋(2k1)）(kZ)第2页共17页极点的极径为0，而极角任意取．若对、的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定>0，0≤＜2或<0，＜≤等．注：极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．3、常见曲线的极坐标方程（直线和圆的极坐标方程需要熟练

10、记住）（1）直线的极坐标方程：几种不同的位置（特殊位置）方程的形式分别为：aa⑴⑵⑶0coscosaaa⑷⑸⑹sinsincos()上述a为极点到直线的距离。注意各种情况对应的直角坐标系的直线方程。第3页共17页过定点的直线的极坐标方程（一般位置）：若直线l经过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为