极坐标与参数方程知识讲解.docx

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯参数方程和极坐标系一、知识要点（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标xf(t)x、y都是某个变数t的函数，即f(t)y并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数．（二）常见曲线的参数方程如下：1．过定点（x0，y0），倾角为α的直线：xx0tcosyy0（t为参数）tsin其中参数t是以定点

2、P（x0，y0）为起点，对应于t点M（x，y）为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离．根据t的几何意义，有以下结论．○1．设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则AB＝tBtA＝(tBtA)24tAtB．○tAtB．．线段AB的中点所对应的参数值等于222．中心在（x0，y0），半径等于r的圆：xx0rcos为参数）（yy0rsin3．中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的椭圆：xacos（为参数）（或xbcosybsiny）asin中心在点（x0,y0）焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的

3、参数方程xx0acos,为参数）yy0(bsin.4．中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的双曲线：1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯xasec为参数）（或xbtgy（y）btgasec5．顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线：x2pt2y2pt直线的参数方程和参数的几何意义（t为参数，p＞0）过定点P（x0，y0），倾斜角为的直线的参数方程是xx0tcos（t为参数）．yy0tsinJ3.2极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，

4、叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ,θ)就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。MOx图12、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应惟一点P(，)，但平面内任一个点P的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P(，)（极点除外）的全部坐

5、标为(,＋2k)或（，＋(2k1)），(kZ)．极点的极径为0，而极角任意取．若对、的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定>0，0≤＜2或<0，＜≤等．极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为：2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⑴a0⑵cosa⑶cos⑷aa⑸⑹asinsincos()M（

6、，）MM0OxOaaO图1图2图30aacoscosM（，）MaOaaOM图5O图4a图6asinN(a,)pasincos()4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为(a0)：⑴a⑵2acos⑶2acos⑷2asin⑸2asin⑹2acos()3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯MMMaaOxOxOax图3图1图22acosa2acosMOxMaMa(a,)aOxOx图4图5图62asin2asin2acos()5、极坐标与直角坐标互化公式：y

7、(,)NxMyxOx2y22Hcosysintany(x0)x（直极互化图）4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯例题（j3.1参数方程）例1.讨论下列问题：1、已知一条直线上两点M1x1,y1、M2x2,y2，以分点M（x，y）分M1M2所成的比为参数，写出参数方程。x33t2、直线2(t为参数)的倾斜角是y11t2A．B．3C．5D．2663x1tcos（t为非零常数，为参数）表示的曲线是()3、方程3tsinyA．直线B．圆C．椭圆D．双曲线x5cosP(5

8、，23)的离心角可4、已知椭圆的参数方程是（为参数），则椭圆上一点y4sin2以是A．B．245C．D．3333例2把弹道曲线的参数方程xv0cost,(1)yv0sint1gt2,化成普通方程．(2)2例3.将下列数方程化成普通方程．x2x1t2x1)①x2t22t2a(txmy1，②1t，③1，④t