极坐标和参数方程知识讲解

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1、.参数方程和极坐标系一、知识要点(一)曲线的参数方程的定义:在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数,即  并且对于t每一个允许值,由方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系x、y之间关系的变数叫做参变数,简称参数.(二)常见曲线的参数方程如下:1.过定点(x0,y0),倾角为α的直线:  (t为参数)其中参数t是以定点P(x0,y0)为起点,对应于t点M(x,y)为终点的有向线段PM的数量,又称为点P与点M间的有向距离.根据t的几何意义,有以下结论..设A、B

2、是直线上任意两点,它们对应的参数分别为tA和tB,则==..线段AB的中点所对应的参数值等于.2.中心在(x0,y0),半径等于r的圆:  (为参数)3.中心在原点,焦点在x轴(或y轴)上的椭圆:    (为参数)  (或 )中心在点(x0,y0)焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程......4.中心在原点,焦点在x轴(或y轴)上的双曲线:    (为参数)  (或 )5.顶点在原点,焦点在x轴正半轴上的抛物线:  (t为参数,p>0)直线的参数方程和参数的几何意义过定点P(x0,y0),倾斜角为的直线的参数方程是  (t为参

3、数).J3.2极坐标系1、定义:在平面内取一个定点O,叫做极点,引一条射线Ox,叫做极轴,再选一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。对于平面内的任意一点M,用ρ表示线段OM的长度,θ表示从Ox到OM的角,ρ叫做点M的极径,θ叫做点M的极角,有序数对(ρ,θ)就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。2、极坐标有四个要素:①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位及它的方向.极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点,在极坐标系下,一对有序实数、对应惟一点P(,),但平面内任一个点P的极坐标不惟一.一个点可以有无数

4、个坐标,这些坐标又有规律可循的,P(,)(极点除外)的全部坐标为(,+)或(,+),(Z).极点的极径为0,而极角任意取.若对、的取值范围加以限制.则除极点外,平面上点的极坐标就惟一了,如限定>0,0≤<或<0,<≤等.......极坐标与直角坐标的不同是,直角坐标系中,点与坐标是一一对应的,而极坐标系中,点与坐标是一多对应的.即一个点的极坐标是不惟一的.3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为:⑴⑵⑶⑷⑸⑹4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为:⑴⑵⑶⑷⑸⑹......5、极坐标与直角坐标互化公式:..

5、....例题(j3.1参数方程)例1.讨论下列问题:1、已知一条直线上两点、,以分点M(x,y)分所成的比为参数,写出参数方程。2、直线(t为参数)的倾斜角是A.B.C.D.3、方程(t为非零常数,为参数)表示的曲线是()A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线4、已知椭圆的参数方程是(为参数),则椭圆上一点P(,)的离心角可以是A.B.C.D.例2把弹道曲线的参数方程化成普通方程.例3.将下列数方程化成普通方程.①,②,③,④,⑤.例4.直线3x-2y+6=0,令y=tx+6(t为参数).求直线的参数方程.......例5.已知圆锥曲线方

6、程是(1)若t为参数,为常数,求该曲线的普通方程,并求出焦点到准线的距离;(2)若为参数,t为常数,求这圆锥曲线的普通方程并求它的离心率。例6.在圆x2+2x+y2=0上求一点,使它到直线2x+3y-5=0的距离最大.例7.在椭圆4x2+9y2=36上求一点P,使它到直线x+2y+18=0的距离最短(或最长).例8.已知直线;l:与双曲线(y-2)2-x2=1相交于A、B两点,P点坐标P(-1,2)。求:(1)

7、PA

8、.

9、PB

10、的值;(2)弦长

11、AB

12、;弦AB中点M与点P的距离。例9.已知A(2,0),点B,C在圆x2+y2=4上移

13、动,且有求重心G的轨迹方程。例10.已知椭圆和圆x2+(y-6)2=5,在椭圆上求一点P1,在圆上求一点P2,使

14、P1P2

15、达到最大值,并求出此最大值。......例11.已知直线l过定点P(-2,0),与抛物线C:x2+y-8=0相交于A、B两点。(1)若P为线段AB的中点,求直线l的方程;(2)若l绕P点转动,求AB的中点M的方程.例12.椭圆上是否存在点P,使得由P点向圆x2+y2=b2所引的两条切线互相垂直?若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由。例题(J3.2极坐标系)例1讨论下列问题:1.在同一极坐标系中与极坐标M(

16、-2,40°)表示同一点的极坐标是()(A)(-2,220°)(B)(-2,140°)(C)(2,-140°)(D)(2,-40°)2.已知△ABC的三个顶点的极坐标分别为A(4,0°),B(-4,-120°),C(2+2,30°),

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