非线性代数共振系统非零解的存在性.pdf

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1、第31卷第4期北京建筑大学学报V0l_31No．42015年12月JournalofBeijingUniversityofCivilEngineeringandArchitectureDec．2015文章编号：1004—6011(2015)04—0072—04非线性代数共振系统非零解的存在性王庆云(山西建筑职业技术学院基础部，山西太原030006)摘要：运用临界点理论、极小极大方法及Morse理论研究非线性代数系统A“=，(“)非零解的存在性．其中系数矩阵A不要求满足正定条件，而非线性项f在无穷远点和原点都满足共振条件

2、．并给出了主要结论的若干应用．关键词：非线性代数共振系统；极小极大方法；临界群；Morse理论中图分类号：0177．91文献标志码：ABeingnessofNon-ZeroSolutionsforaNonlinearAlgebraicSystemwithResonanceWangQingyun(DepartmentofBasicCourses，ShanxiArchitecturalCollege，Taiyuan030006)Abstract：Inthispaper，criticalpointtheory，minimax

3、methodandMorsetheoryareemployedtodiscussthebeingnessofnon-zerosolutionforthenonlinearalgebraicsystemoftheformAu=，(u)，wherethematrixAisnotnecessarilypositivedefinite，buttheresonanceconditionisneededforthenonlineartermatbothinfinityandzero．Someresultsareobtainedan

4、dtheconcernedapplicationsaregiven．Keywords：resonancenonlinearsystem；minimaxmethod；criticalgroup；Morsetheory本文主要研究非线性代数系统：阵A的两个给定的特征值，条件(2)、条件(3)分别Au=，(“)(1)表明系统(1)在无穷远点和原点都是共振的．其中U=(“，M，⋯，U)。是R(n≥3)中的列向量，非线性代数系统(1)来源于实际中的一些具体A=(ai)是给定的实对称矩阵，．厂(u)=((u。)，应用模型．例如偶数

5、阶差分方程边值问题，偏差分(“：)，⋯，(u))满足EC(R，R)且对i∈[1，方程边值问题，动态网络，随机过程及数值分析等．n]：={1，2，⋯，n}有(0)=0．显然U=0是(1)的因而系统(1)非零解的存在性有着广泛而深刻的应平凡解．故本文主要考虑系统(1)非零解的存在性．用领域与应用价值．许多作者对(1)中A为具体矩它依赖于非线性项／在无穷远点和原点的性质．本阵的情况进行了研究I9．也有作者运用临界点理文中，满足条件：论研究了(1)中A为正定矩阵的情形．但在(∞)=A，iE[1，n](2)实际应用时，矩阵A不一

6、定满足正定条件，甚至矩(0)=A，i∈[1，n](3)阵A是不定的，此时U。Au变号，这使得其研究更加困难．近来，文献[13]应用临界点理论及Morse理其中对∈[1，]，(∞)：：lim．A，A是矩论研究了系统A=()解的存在性和多重性，其收稿日期：2015—09—17基金项目：山西省自然科学基金资助项目(201311004-3)作者简介：王庆云(1959一)，女，教授，研究方向：泛函分析第4期王庆云：非线性代数共振系统非零解的存在性73中常数A>0，A是对称矩阵．本文主要运用临界点1)对任意的i∈[1，n]，(∞)

7、AA仅是对称矩阵且满足在无穷远点和原点共振时其3)对任意的i∈[1，n]，(。。)=A，且当≠非零解的存在性．m一1时，A

8、∞)A1．，(u)=÷HAu一∑Fi(u)，“E日(4)3)对任意的i∈[1，n]，(∞)=A，且当≠时，A