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1、非线性非自治系统零解的稳定性，（三峡大学理学院，湖北宜昌443002）摘要文章在允许Lyapunov函数的导数为变号函数的条件下，由微分方程的平凡解稳定，渐近稳定，一致渐近稳定的定义，通过直接证明，得到了非线性非自治微分方程的平凡解稳定，渐近稳定，一致渐近稳定的几个充分条件，这些定理改进了文献[4]的有关结论，对于检验非线性非自治微分方程的平凡解稳定，渐近稳定，一致渐近稳定具有重要意义。关键词非线性非自治系统，稳定性，渐近稳定性，一致稳定性，Lyapunov函数在研究系统零解的稳定性时，李雅普诺夫第二方法起着重要作。因而至今仍有不少学
2、者研究与推广Lyapunov基本定理。最初的学者为了判定一个系统的稳定性时，要求其函数正定与其导数为负。后来又有学者利用一些积分条件将一致稳定，一致渐近稳定减弱为非负或常负，但是在一般情况下，这种条件也很难满足，于是现在就有很多人研究为变号函数情况下的系统零解稳定性，其中文[2]改进了稳定性，一致稳定性，渐近稳定性与一致渐近稳定性的判定定理，这些定理不要求函数的导数负定，甚至常负，而是由其导数上界的无穷积分的性质来刻划。文[4，6，7]就只要求的上界是一个在上积分收敛的函数就可以了。本文根据文献[1-7]的基本思想，讨论了非线性非自治
3、微分方程组的零解的稳定性，渐近稳定性，一致稳定性，给出了几个判定准则，这些结果允许Lyapunov函数的导数为变号函数，对文献[4]中的相关结果作了轻微改进。当然，本文的一些结论也适合部分变元的稳定性分析。考虑微分系统：(1)其中和都是维矢量，,，;,保证（1）的解的存在与唯一性。定理1若存在函数，及满足：1）,其中为正定函数，连续，且；2），，其中有上界，，均为非负可积，且在上积分收敛。则（1）式的零解稳定。证（i）若，由条件使得，因为有上界，则存在常数使得，在上积分收敛，令。则对于，0，,有.又,由连续性知：，当时，有.由解对初始
4、值的连续依赖性，，使得当时，在上，有,并有：，所以.当时，由，有，两边同时乘以，有，，又因为,,故有,从而有，即.故综上所述：当，时，。（ii）当时，令则有由（i）即可得证。注1如果时，即为文[4]定理1。定理2存在函数，及满足：1）,其中为正定函数，连续，且，且；2），，其中有上界，，均为非负可积，且在上积分收敛。则（1）式的零解全局稳定。证由定理1知系统（1）的零解稳定，下证全局吸引。对，记若，则，使得。由定理1的证明过程有：，与定理一中所设定的一致。所以有：，因为，从而，即。若，同样由定理1的证明有：，同样根据以上的证明方法，就
5、可得到：。注2即为文[4]定理2。定理3存在着正定函数满足：1），其中有上界，，均为非负可积，且在上积分收敛；2）,,当时，对（1）的每一个解，函数都满足。则（1）的零解渐近稳定。证由定理1知，该系统的零解稳定，下证吸引。取，当时，因为，所以，，当时使得下面两个式子能同时成立：，。其中，与定理1证明过程中设定的，一致。所以当时，由定理1的证明过程有：+）。所以，，，当，时，。推论1存在着正定函数满足：1），其中有上界，，均为非负可积，且在上积分收敛。2）,当，时存在函数满足，。则（1）的零解渐近稳定。证定理条件蕴涵零解稳定，下证：，（
6、2）若（2）不成立，则存在,.于是出现矛盾，故（2）成立，系统（1）的零解渐近稳定。定理4存在函数，及满足：1）有无穷小上界，,其中为正定函数，连续，且1；2），，其中有上界，，均为非负可积，且在上积分收敛。则（1）式的零解一致稳定。证（i）若，由条件，，使得：（3）由条件（2）令，，由于收敛，则对于，取，。使。（a）若，因，，由解对初始值的连续依赖性及的连续性，，当，时，,.取，当，，由（3）式有：。当时，=。故当，时有。（b）若，取，当时，。故有.综上所述，系统（1）的零解一致稳定。(ii)若，令，故=，有(i)可知（1）式的零解
7、一致稳定。注3即为文[4]定理3。图1考虑如下微分系统：例1(4)令，，取，，。，，均可积且积分收敛，有界，故（4）式稳定。对于如下微分系统：例2（5）取，，，；则，。从而定理2的所有条件满足，故系统（5）的零解渐近稳定.其系统仿真图见图1（初始值是）.参考文献：[1]廖晓昕，稳定性的数学理论及应用[M](第二版)，武汉：华中师范大学出版社，2001.[2]徐道义，关于稳定性的几个基本定理[J]，数学季刊，1992，2（2）：61-67.[3]蹇继贵，廖晓昕，非线性非自治系统的等度渐近稳定性[J]，数学杂志，2006，26（4）：45
8、7-461.[4]蹇继贵，廖晓昕，非线性非自治系统的零解稳定性及部分稳定性研究[J]，数学杂志，2005，25（6）：641-644.[5]徐道义，稳定性理论中几个基本定理的推广[J],应用数学,1992,5(2)：76
