三阶非线性系统零解的全局稳定性

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1、三阶非线性系统零解的全局稳定性1．1引言第1章绪论运动稳定性的理论是著名学者李雅普诺夫(Liapunov)在十九世纪九十年代开创的．至今已在物理科学和工程计算的各个部门都获得了广泛的应用．按李雅普诺夫意义下的运动稳定性理论，研究的是干扰性因素对于物质系统运动的影响．而所谓干扰性因素，即那些在描述运动时由于与基本力相比较甚小而未曾加以考虑的力．这些力通常是不确切知道的，它们可以是瞬时的作用，因而引起物质系统初始状态的微小的变化．微小的干扰因素对于物质系统的影响，对于不同的运动来说是不～样的．对于一些运动，这些影响并不显著，因而受干扰的运动与不受干扰的运动差得很少．反之，对于另外某

2、些运动，干扰的影响就可能很显著，以致无论干扰的力多么小，随着时间的发展，受干扰的运动与不受干扰的运动可能相差得很多．简单来说，第一类运动称为是稳定的；而第二类运动则称为是不稳定的．稳定性理论所研究的内容，就是对于用一般或者特殊的微分方程所描述的动力系统建立判断方法，以判明哪些实际运动系统是稳定，哪些是不稳定的．特别为设计稳定的动力系统，避免不稳定的事故发生，提供一整套数学理论和方法，这就是稳定性理论这门学科重要的理论和实际意义．我们所研究的大部分的扰动运动微分方程，无法把它的解求出来，而李雅普诺夫在他的论文《运动稳定性一般问题》中提出了两种解决问题的方法．第一方法是通常所知道的

3、级数展开法，这个方法一般需要去寻求按任意常数的正整数幂的无穷级数或具有另一些特征的级数形式的解．而现在一般用到的是李雅普诺夫第二方法，也称为李雅普诺夫直接法，它不需要去寻求运动方程的特殊解，当把未被扰动运动的稳定性归结为平衡位置的稳定性问题时，李雅普诺夫将稳定性或者不稳定性的事实与具有特殊性质的函数(通常称为李雅普诺夫函数)的存在联系起来．而这个函数根据微分方程组所取得的对于时间的导数，具有确定的性质．李雅普诺夫函数的作用，不局限于对稳定性或者不稳定性事实的建立问题，李雅普诺夫函数方法是研究自动调节系统最有成效的方法之一．对具体的非线性自第1页三阶非线性系统零解的全局稳定性动调

4、节系统而言，适当地作出李雅普诺夫函数，就能解决一系列有重大实际意义的问题．例如，可以给出调节量变化的估计，过渡过程经过的时间的估计、调节质量的估计等．还可以估计经常作用下扰动的影响，可以解决大范围稳定性问题，即估计初始扰动的区域，使得随着时间的增加，其解不离开预先给定的区域的范围．在某种情况下，用李雅普诺夫函数的方法也可以解决关于周期解的存在问题．总之，李雅普诺夫第二方法在科学的许多领域内已经得到广泛的应用．李雅普诺夫第二方法是研究非线性系统的基本方法之一，特别是在非线性系统的稳定性研究中十分有效．由于没有一个适合于一般系统的李雅普诺夫函数的构造方法，在低阶情形下，可以用类比法

5、，即把线性系统的李雅普诺夫函数类比到非线性系统中的方法来解决．目前，二阶系统的全局稳定性已经基本解决，对三阶以及三阶以上系统也有一些结果，但是这些结果大部分是用克拉索夫一巴尔巴欣定理得到的，证明时候未能抛弃对李雅普诺夫函数的无穷大性质的限制．本文将研究一类更一般的三阶非线性系统，利用类比法为它构造了一个较好的李雅普诺夫函数，证明时用系统正半轨线的有界性来代替李雅普诺夫函数的无穷大性质，得到了较好的结论，它可以包括并改进了这一形式非线性系统全局稳定性的大部分结果(去掉对无穷大性质的限制条件)，因此具有相当普遍的意义．1．2稳定性的基本概念和基本定理李雅普诺夫第二方法是整个稳定性理

6、论的核心，从稳定性理论与应用的发展史看，首先由李雅普诺夫在1892年提出稳定性、渐近稳定和不稳定的四个定理，称为李雅普诺夫基本定理，这四个定理奠定了运动稳定性理论的基础．下面将介绍关于李雅普诺夫稳定性理论的基本概念和主要定理．本章以下定义和定理都参考和引用了参考文献[1】，秦元勋，王慕秋，王联所著的《运动稳定性理论与应用》．考虑自治系统z他)=x(z)，(1．1)假设函数x在区域⋯5^第2页三阶非线性系统零解的全局稳定性内是连续的，且对于初始值zo，系统(1．1)有且只有唯一解z(￡；to，zo)(为简单起见，后面用z(t)表示)，满足z(￡；妣zo)=跏，且后面总是假定x(o

7、)=o．定义1．2．1如果对于任意正数E，无论它多么小，可以找到另一个正数叩(￡)，使得对于所有未受干扰的运动，在其初始时刻to满足不等式Iz(fo)l≤77，而在所有t>to时，满足不等式Iz(￡)I≤￡，则我们就称未被扰动运动f，即z=O／I是稳定的；反之，则称未被扰动运动是不稳定的．定义1．2．2如果未被扰动运动是稳定的，并且数叩可选择得如此之小，使得对于所有满足不等式Iz(￡o)I≤77的扰动运动，同时满足条件．1imz(￡)=0，C—÷。。则就称未被扰动运动是渐近稳定的．定义1．2