毕业设计（论文）--一类四阶非线性系统的全局稳定性

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1、届别2009届学号200712050143毕业设计（论文）一类四阶非线性系统的全局稳定性姓名系别专业数学系、数学与应用数学导师姓名、职称　教授完成时间2009年4月II目录摘要IAbstractII1引言12准备工作13主要结论24讨论75总结8参考文献9致谢10II摘要本文应用类比法构造了李雅普诺夫函数,研究了一类四阶非线性系统的全局渐近稳定性.给出了该系统零解全局渐近稳定的充分条件.关键词：非线性系统；全局渐近稳定；李雅普诺夫函数IIABSTRACTInthispaper,byusingtheanalogmethod

2、constructedLiapunovfunctional;wehavestudiedtheglobalasymptoticstabilityforaclassofthefourthordernonlinearsystem.Asufficientconditionisobtainedtoensuretheglobalasymptoticstabilityofthesystem.Keywords：Nonlinear;Globalasymptoticstability;LiapunovfunctionalII1引言众所周知，

3、研究非线性系统的稳定性是非常重要的.文献研究了的稳定性.文献研究了四阶常系数非线性系统稳定性，并且推广到.文献研究了全局渐近稳定性.目前关于更一般的四阶非线性系统的稳定性的结果尚少见，本文研究了四阶非线性系统全局稳定性，通过类比法构造Liapunov函数，建立了其零解的全局渐近稳定的判据.它推广了上述四阶非线性系统的研究成果，具有一般性.2准备工作非线性系统（1）将（1）写成如下形式或（2）用适当的代换及加法，将（2）化为如下形式……根据E.T.Wall的能量度量积分该系统的Liapunov函数，可按析线积分求得即　……

4、………当系统（1）为如下系统时（3）10则此时系统（3）的Liapunov函数为整理得（4）把（4）配方得（5）引理如果存在定正函数，其通过非线性系统（1）的全导数为常负，但使的点的集中除零解之外并不包含非线性系统（1）的整条正半轨线，则非线性系统（1）的零解是全局渐近稳定的．3主要结论考虑下列四阶非线性系统（6），具有连续的二阶偏导数且.作变换：，，，将系统（3）化为等价的系统为：（7）（7）对应的线性系统为10根据（5）我们取Liapunov函数：（8）把，，代入（8）式得到系统（7）的Liapunov函数（9）对（

5、9）求导得（10）将（10）整理得10化简（11）定理若时，与常数，、具有连续的二阶偏导数,对、满足：Ⅰ.，Ⅱ.Ⅲ.Ⅳ.，且Ⅴ.，且Ⅵ.，且Ⅶ.，且则在域，内，系统（6）的零解是全局渐近稳定的.证明首先，证明是定正的.事实上，，的每一项都是非负的，且当时，10从而所以是定正的.其次，（12）根据定理的条件（1），（2）（3）（4），且（5），且（6），且（7），且可知10下证不包含除以外系统（3）的整条轨线.事实上，由定理知时即而所以把代入（12）式10即所以把代入系统（7）的第4式得.最后证明，系统（6）的所有正半轨线

6、是有界的.在域，内.考虑，，构成区域.显然是有界区域，对任意给定的可以选取,使得位于内.我们要证明由出发的轨线，当时不离开区域.事实上，轨线若离开区域，则必穿过边界平面的部分，此时存在一个，使得即若，，则上式的右端：若，，则上式的左端：当足够大时，在上有（6）的轨线交的边界平面部分是从外向内的，即正半轨线是有界的.定理证毕.4讨论1.如果取，，则系统（6）即为文献中考虑的方程，2.如果取，，则系统（6）即为文献中考虑的方程3.如果取，，则系统（6）即为文献推广得到的方程，4.如果取，则系统（6）即为文献中考虑的方程，10

7、5总结本文运用E.T.Wall方法得到了常系数非线性系统的Liapunov函数，通过类比法得到了我们所需要的Liapunov函数，从而研究了一类四阶非线性系统的全局渐近稳定性，并得到该系统全局渐近稳定性的一个充分条件，它直接推广了以往四阶非线性系统的研究成果，具有一般性.同时它也为自动控制、卫星通讯、生物、化学和现代物理等领域中稳定性研究提供了一个理论依据.10参考文献[1]李玉洁．一类四阶非线性系统的稳定性[J]．大学数学，2006．6，22(3)：87-90．[2]徐静．一类四阶非线性系统的全局稳定性[J]．安徽机电

8、学院学报，2002．09，3(17)：18-19．[3]李华平，高科．四阶非线性系统的全局渐近稳定性[J]．内蒙古教育学院，1996，2：57-59．[4]张昌波，刘永清．李雅普诺夫函数构造与势函数[J]．安徽工学院学报，1992．11，35-40．[5]王联，王慕秋．非线性常微分稳定性分析[M]．哈尔滨工业大学出版