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1、数学分析§1拉格朗日定理和函数的单调性§2柯西中值定理和不定积分§3泰勒公式§4函数的极值和最大(小)值§5函数的凸性和拐点§6函数图像的讨论第六章微分中值定理及其应用第六章微分中值定理及其应用§4函数的极值和最大(小)值教学内容：函数的极值与最值．教学重点：函数极值与最值的确定．教学难点：函数极值充分条件．教学要求：掌握函数极值的第一、第二充分条件，学会求闭区间上连续函数的最值的基本方法．§4函数的极值与最大(小)值§4函数的极值与最大(小)值二、最大值与最小值极大(小)值是局部的最大(小)值,它一、极值判别
2、们将逐一研究函数的这些几何特征.有着很明显的几何特征.在本节中,我函数的极值不仅在实际问题中占有重要的地位，而且也是函数性态的一个重要特征．费马定理告诉我们.可微函数的极值点一定是稳一、极值判别我们在这里再次强调:费马定理是在函数可微的定是水平的.定点.也就是说,在曲线上相应的点处的切线一条件，费马定理的结论 就无从说起.条件下建立的.换句话说，若没有可微这个前提当然，费马定理的逆命题亦不真.例如对于任意于是得极值的必要条件：极值点.的可微函数导数为零也不一定取得极值.如幂函数y=x3，在x=0可微函数的
3、极值点一定是导数为零.下面给出极值的充分条件.定理6.10(极值的第一充分条件)设函数f(x)在是极值点情形不是极值点情形定理6.10的几何说明根据导函数的符号判别函数单调性的方法，可出(i)的证明，(ii)的证明类似.以知道定理的几何意义十分明显.在这里仅给证明利用导函数符号得出函数的单调性方法.于是①确定函数的定义域，求出导函数；②找出函数的所有驻点（由）以及所有不存在的点；③利用第一充分条件，检查上述的点两侧邻近的符号（列表完成）。第一充分条件求极值的步骤归纳如下：定理6.11(极值的第二充分条件)设f(
4、x)在点x0证同样我们仅证(i).因为所以由保号性，由极值判别的第一充分条件得知:x0是极小值点.注：①只有二阶导数存在且不为零的驻点才可以用本定理判别法；②使用本定理时，一般要求二阶导数的计算相对较为容易；证明要点注建议同学们与教材上的证明方法相比较,这里的证明方法更简单且具有一般性.例1解由求得稳定点只能用第一充分条件进行判别。③对于二阶导数不存在的点、不可导的点，所以(参见右图)424例2解稳定点为x=0，没有不可导点.为了更好地加以判别，我们列表如下：不存在增增减即是极小值.不存在增减极小值增请同学们自
5、行讨论.-11-2-11(1)-1-11O1(2)即解由定理6.11,x=6是极小值点,f(6)=108是极小值.试问这里为什么不考虑不可导点x=0?例3.例4解定理6.12(极值的第三充分条件)设f在点x0的某邻域内存在直到对于 的情形,可借助于更高阶的导数来判别.证由泰勒公式,有(ii)n为奇数时,不是极值点.其中它在某邻域内恒与同号.这就说明了不是极值点.例5所以由第二判别法,解求得极小值为因此x=1不是极值点(n=3是奇数).又因而对于稳定点却无法知道结果,我们尝试用第三充分条件来进行判
6、别.由于(n=4是偶数).注第三充分条件并不是万能的.例如x=0是所以无法用定理6.12来判别.二、最大值与最小值由连续函数的性质,若f(x)在[a,b]上连续,那只可能在极值点、区间端点和不可导点之中取得.一定是极大(小)值.这也就告诉我们:最大(小)值区间内部(不是端点)取得最大(小)值,那么这个值因为极大(小)值是局部的最大(小)值,故若函数在值提供了强有力的保证.么一定有最大、最小值,这对求函数的最大(小)下面具体介绍求函数最大(小)值的方法.(3)设(1)和(2)的点为由前面的分析,可知f(x)在[a
7、,b]上有:例6在区间上的最大、最小值.解所以在x=0连续，由导数极限定理推知故在x=0不可导.所以这样就得到不可导点为0,稳定点为1,2.又因-0.500.511.522.500.511.522.533.544.55例7一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方程正比．已知当速度为10（km/h）,燃料费为每小时6元，而其他与速度无关的费用为每小时96元．问轮船的速度为多少时，每航行1km所消耗的费用最小？解上无极小值点.所以最小值只能在端点取到,故例8证明不等式：证就是要证F(x)的最小值非负.于是证得(见下
8、图)10.050.10.15例9如图所示,剪去正方形时,盒子的容积最大.去的小正方形的边长为何值制成一个无盖的盒子,问剪四角同样大小的小正方形后解设正方形的边长为a,每一个小正方形的边长因为为x，则盒子的容积为仅有唯一的极值,那么这个极(大)值一定是最大例10设某商店每天向工厂按出厂价每件3元购进小正方形后，得到最大容积为的无盖盒子.值.所以问题的解为:在四个角上截取边长为的为400件
