函数的极值ppt课件.ppt

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1、1.2　函数的极值1.理解函数极值的概念．2.掌握利用导数求函数极值的方法．3.体会数形结合思想的应用.1.求解函数的极大值点、极小值点、极大值与极小值．(重点)2.常用函数的单调性、图像等综合考查．(难点)3.常以选择或解答题的方式进行有关极值的正向或逆向问题的考查．(易混点)1．在某个区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间内为增(减)函数的条件，而不是条件．2．利用导数求函数单调性的步骤：(1)确定f(x)的定义域；(2)求出f′(x)＝0的实根；(3)确定各区间上的f′(x)的符

2、号；(4)写出其单调区间．充分必要1．函数的极大值与极小值(1)如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是的，在区间(x0，b)上是的，则是极大值点，是极大值．(2)如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是的，在区间(x0，b)上是的，则是极小值点，是极小值．递减f(x0)递增递减递增x0f(x0)x02．极大值与极小值的表格表示(1)极大值x(a，x0)x0(x0，b)f′(x)＋0－y＝f(x)递增极大值递减(2)极小值x(a，x0)x0(x0，b)f′(x)－0＋y＝f(x)递减极小值递增1

3、．函数f(x)＝x3－3x2＋7的极大值是(　　)A．－7　　　　　　　　B．7C．3D．－3解析：f′(x)＝3x2－6x，由f′(x)＝0得x＝0或x＝2，在x＝0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，∴f(0)＝7为函数的极大值．答案：B2．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为(　　)A．1，－3B．1,3C．－1,3D．－1，－3解析：f′(x)＝3ax2＋b，f′(1)＝3a＋b＝0，a＋b＝－2，解得a＝1，b＝－3.答案：A3．函数y＝x3－6x的极大值为

4、________，极小值为________．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2，－1)(－1,0)0(0，＋∞)f′(x)＋0－－0＋f(x)极大值－3极小值1由表可知，函数f(x)在区间(－∞，－2)及(0，＋∞)上分别为增函数，在区间(－2，－1)与(－1,0)上分别为减函数．函数在x＝－2时有极大值－3；在x＝0时有极小值1.x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值3因此当x＝1时，f(x)有极小值，并且f(1)＝3.x(－∞，0)0(0

5、,3)3(3，＋∞)f′(x)－0－0＋f(x)单调递减不是极值单调递减极小值单调递增x(0，e)e(e，＋∞)f′(x)＋0－f(x)单调递增极大值单调递减设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝1和x＝－1处有极值，且f(1)＝－1，求a、b、c，并求其极值．此题属于逆向思维，仍可根据求函数极值的步骤来求，但要注意极值点与导数之间的关系：极值点为f′(x)＝0的根．利用这一关系，来用待定系数法求a、b、c.x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值1极小值－1

6、∴f(x)极大值＝f(x)

7、x＝－1＝1，f(x)极小值＝f(x)

8、x＝1＝－1.2.已知函数f(x)＝x3－3ax2＋2bx在点x＝1处的极小值为－1，试确定a，b的值，并求f(x)的单调区间．设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．3.(2009年陕西)已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a>0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三

9、个不同的交点，求m的取值范围．(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值．∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0.∴a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1，由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，又f(－3)＝－19<－3，f(3)＝17>1，结合f(x)的单调性可知m的取值范围是(－3,1)．1．极值点的意义在定义中，取得

10、极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值．2．几点说明(1)极值是一个局部概念．由定义知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．(2)函数的极值不是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值．如图所示，x1是极大值点，x4是极小值点，而