高数—不定积分_讲解和例题-PPT_(2).ppt

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1、§3.分部积分法设u(x),v(x)有连续导数，则两边取积分：——分部积分公式要求：如何选择v?例1：=?一般：(1)v要容易求出。v(x)的ex;次选：sinx,cosx；再次之：首选：x等幂函数；不选：lnx.例题讨论例2：小结（一）：可降低xm的幂次数。例3：例4：小结（二）：可使原来含超越函数的被积函数化为代数函数的积分。例5：再生法例6：由再生法：例7：+a2-a2由再生法：本例还可用前面讲过的三角代换令x=atant同理：所以：小结（三）：经过几次分部积分后，又出现原来的积分，这时可移项合并求出积分。（再生法）求不定积分往往将换元、分部

2、法结合起来一起使用！下面再看一些例子。例1：解一：原式=解二：原式=x1t例2：解：原式=例3：解：原式=例4：解：原式=例5:解：原式=例6:例7:解：原式例8：已知f(x)的原函数为解：请同学们自己看教材第209页例9：递推公式：例9：课外作业习4—3（A）2（5，8，10）习4—3（B）1（4，5，10，11，13，15，16，19，20）§4.有理函数的积分对有理函数、三角函数的有理式及简单的无理函数的积分，仍有规律可循。一、有理函数的积分有理函数:由两个多项式的商所表示的函数。其中m,n都是正整数或零,系数ai,bj均为实数，R(x)为多

3、项式(又称有理整函数)有理真分式有理假分式=多项式+真分式性质：真分式总可分解成若干个最简分式之和——部分分式之和。a)若Q(x)能分解成若干个单因式，即如：AB比较系数b)若Q(x)能分解若干个k重单因式，即如：比较系数：c)若Q(x)含有二次质因式如：比较系数：d)若Q(x)含有k次质因式从理论上讲，任何有理函数的不定积分都存在。有理函数的不定积分必定是有理函数、对数函数或反正切函数。即任何有理函数的不定积分仍是初等函数。求有理函数积分的方法：(1)把真分式拆成部分分式之和。(2)化假分式=多项式+真分式例1：+x-x(3)利用恒等变形求某些有

4、理式的不定积分：例2：+x2-x2+x-x+x-x例3：若令ex=u,x=lnu,化为有理式的积分。特点：被积函数的分子的次数比分母低一次，所以分子放入微分号后即与分母同次。(4)利用被积函数自身特点。例4：且d(x2+x+3)=(2x+1)dx解：课外作业习4—41（1，10），4（2，21）二、可化为有理函数的积分举例三角函数有理式：指由三角函数和常数经过有限次四则如：总可通过适当变换，化成有理函数的积分。运算所构成的函数。记成——万能变换化为u的有理函数的积分。例：万能变换并不是最简捷的方法，万不得已而用之。一般，常用三角恒等变形，也可用其它

5、变换。另外：若总之解题要灵活。例1：例2：例3：(分子分母同乘1-sinx)若为简单无理函数的积分1.常利用根式代换，令2.(l为m,n的最小公倍数)例：3.配方化为形如：的不定积分。再作三角代换或倒变换即可。4.例：解：原式=例：解：(1-)+例：抽象函数的积分F(x)是f(x)的原函数。例1：已知f(x)的一个原函数是解：例2：解：-则f(x)例3：解：原式=§5.积分表的使用法自学！！1）直接查得，注意表中的系数。2）适当变换，化为表中形式，回代。3）递推公式的使用。注意三点：对不定积分的说明：1.初等函数在其定义域上的原函数必存在；但这些原

6、函数不都是初等函数。以下初等函数的原函数不是初等函数：2.如果f(x)的原函数是初等函数，则说能表示成有限形式，否则说不能表示成有限形式。课外作业习4—42（1，2，6，10），3（6，10），4（6，10，13，16，17，30）End