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1、第四章不定积分§1.不定积分的概念与性质已知物体运动的位置函数s=s(t)，求时刻t的瞬时速度v=v(t)。——微分学解决的问题已知物体运动的速度函数v=v(t)求运动的位置函数s=s(t)。——积分学解决的问题一般，已知函数f(x),要找另一个函数F(x),使F’(x)=f(x)。——积分学的任务一、原函数与不定积分的概念定义1：已知f(x)是一个定义在区间I上的函数，则称F(x)为f(x)在I上的原函数。如：∴x2是2x的原函数;dsinx=cosxdx,∴sinx是cosx的原函数;∴s(t)是
2、v(t)的原函数。如果存在函数F(x),使在I内的任一点都有有关原函数的几个问题1.在什么条件下,f(x)一定存在原函数？原函数存在定理：若f(x)在区间I上连续，则在I上必存在原函数。2.如果f(x)有原函数，那么共有几个？设F(x)为f(x)的原函数，则∴f(x)如有原函数，就有无穷多个。∴F(x)+C包含了f(x)的所有原函数。3.如果f(x)有一个原函数F(x),那么F(x)+C是否包含了f(x)的所有原函数？定义2：函数f(x)的全体原函数就称为f(x)的不定积分。记作其中—积分号f(x)—
3、被积函数f(x)dx—被积表达式x—积分变量例：若F(x)为f(x)的一个原函数，则不定积分的几何意义:f(x)的一个原函数F(x)的图形称为f(x)的一条积分曲线，方程为y=F(x).就表示了一族积分曲线y=F(x)+C.它们相互平行，即在横坐标相同的点处有相同的切线斜率。xy0x先积分后微分的作用相互抵消。由不定积分的定义，则有又或先微分后积分的作用抵消后加任意常数C。例：求通过点(1,2)，且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标6倍的一条曲线。解：设所求曲线方程为y=f(x).由题意，曲线上点(
4、x,y)的切线斜率为一簇积分曲线。二、基本积分表②注意：③依基本导数公式与不定积分的定义，即可得基本积分公式：请同学们参见教材第186页15个公式。例题讨论求下列不定积分：例1.例2.三、不定积分的性质性质1.函数和的不定积分等于各个函数的不定积分的和。性质2.被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外。利用基本积分表和不定积分性质，可计算一些简单函数的不定积分。注意3点：1、在分项积分后，对每个不定积分的任意常数不必一一写出。可在积分号全部不出现后简写为一个常数。2、检验积分结果是否正确，只要将其结果
5、求导，看它的导数是否等于被积函数即可。3、由于微分形式不变性，积分表中的每个公式中的x可用其它变量u替代，公式仍正确。技巧：先将被积函数变形，化为表中所列的类型，然后再积分。例3.例4.掌握被积函数的恒等变形。例5.同理，例6.例7.例8.例9.(假分式=多项式+真分式)从理论上来讲，只需把积分结果求导，就可检验积分是否正确。但由于函数变形及原函数间可相差一个常数等因素，一般不检验。所以注重积分过程的正确性是至关重要的。即每一步运算都要看能否还原到上一步。课外作业习4—1（A）1（双）习4—1（B）1
6、（5，6，7，11），2一、第一类换元法(凑微分法)1.凑常数例1：2(2x=u)§2.换元积分法例2：例3：(+1)(x+1=u)例4：(/a)a(-1)同理：例5：同理：例6：2.凑函数（变量）定理1.设F(u)是f(u)的一个原函数，且原函数，且有换元公式：u=φ(x)可导,证明：换元公式：φ(x)=u前例：(u=sinx)例1：例2：题目做得熟练后，中间变量u可以不写出来。例3：同理：例4：(secx+tanx)(secx+tanx)同理：例5：或例6：2例7：例8：例9：一般：例10：例11
7、：一般：例12：例13：课外作业习4—2（A）3（4，5，6，13，16，17）习4—2（B）2（4，7，8）二、第二类换元法(变量代换法)定理2.设x=ψ(t)是单调的可导函数，换元公式：令x=ψ(t)，1.三角代换例1：分析：目的：消去根式。利用三角恒等式：若令x=asint,被积函数例1：解：令x=asint,dx=acostdt,txa例2：分析：若令x=atant,解：令x=atant,dx=asec2tdt.txa也可令x=asht(t>0)解：令x=asht，dx=achtdt,例3：分
8、析：若令x=asect,解：令x=asect,dx=asecttantdt,txa或令x=acht(t>0)如：小结：当被积函数含有因子：目的：去根号。例题讨论例1：解：tx例2：解：令x=tant,dx=sec2tdt.x1t2.根式代换例1：分析：目的：化分数幂为整数幂。(去根号)解：-1+1回代例2：解：例3：令x=sect,dx=asecttantdt,解二：解一：3.倒代换对形如：前例3：例4：解二：解一：熟记！教材第203页积分公式：(16)
