高数不定积分.ppt

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1、§1不定积分的概念与基本积分公式§2换元积分法与分部积分法§3有理函数和可化为有理函数的不定积分第八章不定积分§1不定积分的概念与基本积分公式第八章不定积分在第三章我们研究了已知f，如何求f的导数f的表达式，得到了一些计算法则，例如：(f+g)=f+g,(fg)=fg+fg,(f[])=f[]这些计算方法加上基本初等函数的导数公式，我们可以解决初等函数的求导问题，即是，若f为初等函数，f的表达式能求出.我们现在来研究第三章求导问题的逆问题。问题：在已知f的表达式时，f的表达式是什么形式呢？

2、即是，已知函数f的表达式，求f的原函数是什么。.基本积分表换元积分法分部积分法有理函数积分本章主要内容：例如，在区间(-,+)内，因为(sinx)cosx，所以sinx是cosx的一个原函数。提问：cosx还有其它的原函数吗？提示：cosx的原函数还有sinx+C。定义1如果在区间I上，可导函数F(x)的导数为f(x)，即对任一xI，都有F(x)f(x)或dF(x)f(x)dx，则称函数F(x)是函数f(x)在区间I上的原函数。原函数概念两点说明：2、f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数，即如果

3、(x)和F(x)都是f(x)的原函数，则(x)F(x)C(C为某个常数)。1、如果F(x)是f(x)的原函数，那么F(x)C都是f(x)的原函数，其中C是任意常数。定义1如果在区间I上，可导函数F(x)的导数为f(x)，即对任一xI，都有F(x)f(x)或dF(x)f(x)dx，则称函数F(x)是函数f(x)在区间I上的原函数。原函数概念注2.符号差别：与不定积分的概念1.定义：设I为某区间，称f(x)在I上的原函数的全体为f(x)在I上的不定积分，记作积分号被积函数积分变量注1.(3)式中积分号下的

4、f(x)dx,可看作是原函数的微分。数一族函数(3)定理1.设F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则(4)其中C为任意常数0x0yxy=F(x)+C1y=F(x)+C2y=F(x)+C3y=F(x)+C4例1．例2．例3．解：-1O1xyy=x2函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线。C1y=x2+C1C2y=x2+C2C3y=x2+C3函数f(x)的积分曲线也有无限多条。函数f(x)的不定积分表示f(x)的一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲线的斜率。三、不定积分的几何意义例4．求过点(1,3)，且其切

5、线斜率为2x的曲线方程。解：设所求的曲线方程为yf(x)，则yf(x)2x，即f(x)是2x的一个原函数。因为所求曲线通过点(1,3)，故31C，C2。于是所求曲线方程为yx22。-2-1O12x-2-112yyx2+2yx2(1,3)．所以y=f(x)x2C。例5：解：容易看到两边除以3，得求导数的性质yy=x2xyx因此,2.不定积分的性质：1)2)3)4)3.基本积分公式积分公式导数公式1231)2)3)5)6)7)56744)10)11)10119)98)84.

6、积分公式的简单应用例1.求解:例2.求解:例3.求解:例4.求f(x)=x2+1,x<0.解:F(x)=而要使F(x)成为f(x)在R上的原函数，必须F(x)连续，从而C1＝0，C2＝1，因此满足条件的函数为F(x)=故例5．例6．例7．例8．练习：习题五：2(1,3,5,7)例9．例10．例11．例12．例13．例14．例15．例16．解：因为总成本是总成本变化率y的原函数，所以已知当x=0时，y=1000，例17．某厂生产某种产品，每日生产的产品的总成成本为1000元，求总成本与日产量的函数关系。因此有C=100

7、0，作业：P181：1,2,3,4,5(1)~(16).上页下页结束返回首页铃第八章不定积分§2换元积分法与分部积分法第八章不定积分§2换元积分法与分部积分法但是解决方法利用复合函数，设置中间变量.令一问题的提出我们知道令利用基本积分表与积分的性质，所能计算的不定积分是非常有限的；我们可以把复合函数的微分法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法，称为换元积分法。目的是去掉根式。若则设（且可微，根据复合函数微分法，）于是可得下述定理二第一类换元法注意使用此公式的关键在于将第一类换元公式（凑微分法）

8、定理1第一类换元法又称为凑微分法。解决问题的关键在哪里呢？再看上式的特点外部函数的导数中间变量u中间变量u的导数复合函数求导数得到的函数是两个因子的乘积外部函数的导数中间变量的导数。如果从被积函数中你能看出这种形式，问题的答案就出来了。例1.求解：函数3x2cosx3看上去象某复合函数求导而得：cosx33x2sinu的导数中