《高数》不定积分.ppt

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1、第四章不定积分教学目的要求1、理解原函数的概念，不定积分的概念、几何意义及性质。2、掌握不定积分的基本公式，不定积分的换元积分法和分部积分法。3、了解简单有理函数的积分方法。学习重点和难点重点不定积分的计算难点不定积分的换元积分法和分部积分法。原函数定理（原函数存在定理）不定积分的概念不定积分的几何意义不定积分的性质性质1不定积分与求导数（或微分）互为逆运算，即性质2被积表达式中的非零常数因子，可以移到积分号前，即性质3两个函数代数和的不定积分等于两个函数的不定积分的代数和，即这一结论可以推广到任意

2、有限多个函数的代数和的情形，即基本积分公式由于不定积分是求导数（或微分）的逆运算，那么就自然可以从导数公式得到相应的积分公式。见pag.79.以上十三个基本积分公式，是求不定积分的基础，必须熟记。套用基本积分公式和性质的积分方法称之为直接积分法。先化为的形式，利用公式(2)来求不定积分。注:1)、分项积分后，每个不定积分的结果都含有任意常数。由于任意常数之和仍是任意常数，因此总的只写一个任意常数。2)、检验积分结果是否正确，只要把结果求导，看它的导数是否等于被积函数。解：基本公式中没有这种类型的积分

3、，经过变形化为表中所列类型，就可以逐项求积分：换元积分法换元积分法是复合函数的求导的逆运算，根据被积函数的不同特点将分为第一类和第二类换元积分法。第一类换元积分法（凑微分法）通常用以下步骤应用上述定理：这种求不定积分的方法通常叫做第一类换元积分法（凑微分法）方法熟悉后，可略去中间换元步骤，直接凑微分公式的形式（见pag.83凑微分）本题中七个积分，可以作为公式使用.在求解不定积分时，经常需要先用代数运算或三角变换对被积函数做适当变形，另外要多做题，掌握更多的积分技巧。解：利用三角中的积化和差公式第二

4、类换元积分法这类求不定积分的方法，称为第二类换元积分法注：1、第二类换元法常常用于被积函数中含有根式的情形，常用的变量替换可总结如下：2、在作三角替换时，可以利用直角三角形的边角关系确定有关三角函数的关系，以还原原积分变量。分部积分法形如等类型的积分(即两个函数乘积的积分)，就采用另一种基本积分方法——分部积分法。分部积分公式的作用在于把比较难求的化为比较容易求的来计算，从而达到化难为易，化繁为简的目的。应用分部积分法求积分时，恰当选取是关键，为了便于掌握、记忆分部积分法，编写了分部积分歌：幂三（指

5、）选幂（若被积函数是幂函数和正（余）弦函数或幂函数和指数函数的乘积，设幂函数为u，其余为dv)幂反（对）选反（对）（若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，设反三角函数或对数函数为u，其余为dv)三角指数可任选出现循环移项解现举例说明幂三选幂为u幂指选幂为u幂对选对为u幂反选反为u幂反选反为u等式左端的积分与右端的积分是同一类型，对右端积分再用一次分部积分法，三角指数可任选简单有理函数积分（有理可分解）有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，即一般地，利用多项式除法，总可把假分式化

6、为多项式真分式之和，例如多项式部分可逐项积分，因此以下只讨论真分式的积分法。称有理函数是真分式；反之称有理函数是假分式。有理真分式积分有以下三种形式，现举例说明：这是恒等式，两端X的系数和常数项必须分别相等，于是方法二：在恒等式（1）中，代人特殊的x值，从而求出待定的常数这样，所求积分可计算如下：