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1、近世代数(AbstractAlgebra)主讲教师：蔡炳苓（河北师范大学数学与信息科学学院)第5节子环,环的同态河北师范大学第三章环与域定义若环的非空子集关于环的加法与乘法也做成环，称为的子环，判定记作例1同样有子除环，子整环和子域的概念.的中心.证明：定义：若环关于加法是循环群，称为循环环.，则时，（2）当时，例如整数环是循环环.性质1若（1）当性质2(1)循环环是交换环；(2)循环环的子环是循环环；(3)无限阶循环环的特征是无限.n阶循环环的特征是n.事实上（1）定义设是两个环,是集合的映射.如果对任意的,有则称为环的一个同态映射
2、.又为满射,则称为满同态,,并称同态.既是单射又是满射,则称为同构，记作,并称同构.如果记作如果～定理1若与是各有两个代数运算的系统，，则当是环时，也是环.定理2若是环，且，则(4)当是交换环时，也是交换环；是有单位元环时，也是有单位元与(5)当的，且且问：环同态对无零因子传递吗？例2为4阶循环环，即且则建立有零因子，无.例3做成环.的零元是，而故有零因子,无.注：同态对环有无零因子不具传递性；同态对环的性质不完全传递；但是同构的环性质完全相同.定理3若与是环，且，则是无零因子环（整环、除环、域）是无零因子环（整环、除环、域）定理4（
3、环的挖补定理）（了解）设为环的子环，且与环同构，，又若，即与在里的补集无公共元素，则存在,使，即环第7-9节理想最大理想同态河北师范大学定义设为环,为的非空子集.满足:则称的一个理想.如果为●由定义可知,理想一定是子环.与本身都是理想称为平凡理想（零理想与单位理想）.的理想.这两个●的不等于它自身的理想(如果有的话)的真理想.除环只有零理想与单位理想.定理●称为一般的，一个环除平凡理想外还会有其他理想，例如例试求的所有理想.的全部子群为：为的理想.的全部理想为解由此知,可见：Z的子加群，子环与理想是一致的.同样地，模n的剩余类加群也是
4、如此.定义设为环,为的理想.分别称为理想的和与交.集合定理6(1)环的两个理想的和与交都是的理想;(2)环的任意有限多个理想的和还是理想.的任意多个理想的交还是理想.环证明(1)是的理想.（2）是的理想.定义设为环,,称环中所有的理想的交为由生成的主理想,,即包含记作是中包含的最小理想.为有单位元的交换环时因此整数环的每个理想都是主理想.为有单位元的环时为交换环时定义设为环,,则为的理想,称为生成的理想,记作由例5假设Z[x]是整数环上一元多项式环，则（2,x）不是一个主理想.(见教材112页)设为环，为的理想.则是的加群意义下的不变
5、子群:（2）①，则②（3）（1）为在中的一个陪集:（4）的加法与乘法:则关于如上所定义的运算构成环.定义：称环为商环，也称为环的模理想的剩余类环.为交换环,则也是交换环.有单位元,则也有单位元,且如果如果，负元：零元：例1设为大于1的正整数,则为的理想,从而考虑商环即商环就是模的剩余类环.定理1（定义2设为环的同态,称集合为同态的核.）定理2（环同态基本定理）设为环的同态满射,则一个环R的一个不等于R除了R同I自己以外，没有包含I的理想.定义：的理想I叫做一个最大理想，假如，例4：求整数环的所有最大理想.所有理想：是最大理想是素数.引
6、理1：假定I≠R是环R的理想，剩余类I是最大理想.环R/I只有平凡理想引理2：如果一个有单位元的交换环R只有平凡理想，那么R一定是一个域.（教材117页）定理4：假定R是一个有单位元的交换环，I是最大理想。I是R的一个理想，则R/I是一个域定理5：是域是素数.
