免费--高考总复习--走向清华北大--精品教学教案--25平面向量的数量积.pdf

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1、第二十五讲平面向量的数量积回归课本1.向量的夹角(1)已知两个非零向量a和b,作OAaOBb,,则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角.(2)向量夹角θ的范围是[0,π],a与b同向时,夹角θ=0;a与b反向时,夹角θ=π.(3)如果向量a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作a⊥b.2.向量的投影

2、a

3、cosθ(

4、b

5、cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.3.平面向量数量积的定义a·b=

6、a

7、

8、b

9、cosθ(θ是向量a与b的夹角),规定:零向量与任一向量的数量积为0.4.向量数量积的性质设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的

10、单位向量,θ是a与e的夹角,则(1)e·a=a•e=

11、a

12、cosθ.(2)a⊥b⇔=a•b=0.(3)当a与b同向时,a·b=

13、a

14、

15、b

16、;当a与b反向时,a·b=-

17、a

18、

19、b

20、;特别地,a·a=

21、a

22、2或

23、a

24、=aa.ab(4)cosθ=.

25、

26、

27、

28、ab(5)

29、a·b

30、≤

31、a

32、

33、b

34、.5.向量数量积的运算律(1)a·b=b•a.(交换律)(2)(λa)·b=λ(a•b)=a•(λb).(数乘结合律)(3)(a+b)·c=a•c+b•c.(分配律)6.平面向量数量积的坐标表示(1)若a=(x,y),b=(x,y),则a·b=xx+yy.1122121

35、2(2)若a=(x,y),b=(x,y),θ是a与b的夹角,则cosθ=1122xxyy1212.2222xyxy1122(3)若向量a的起点坐标和终点坐标分别为(x,y),(x,y),则1122

36、a

37、=22这就是平面内两点间的距离(xx)(yy),1212公式.(4)设a=(x,y),b=(x,y),则a⊥ba•b=0xx+yy=0.11221212考点陪练1.(2010·北京)a,b为非零向量,“a⊥b”是“函数f(x)=(xa+b)•(xb-a)为一次函数”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分

38、也不必要条件解析:函数f(x)=x2a•b-(a2-b2)x-a•b,当函数f(x)是一次函数时必然要求a•b=0,即a⊥b,但当a⊥b,

39、a

40、=

41、b

42、时,函数f(x)不是一次函数,故选B.答案:B2.(2010·重庆)已知向量a,b满足a•b=0,

43、a

44、=1,

45、b

46、=2,则

47、2a-b

48、=()A.0B.22C.4D.8解析:因为

49、2a-b

50、2=(2a-b)2=4a2+b2-4a•b=4a2+b2=4+4=8,故

51、2a-b

52、=22,选B.答案:B3.P是ABC所在平面上一点,若PAPBPBPCPCPA,则P是ABC的()A.外心B.内心C..D重

53、心垂心答案:D4.非零向量OAaOB,,b若点B关于OA所在直线的对称点为B,则向量OB为()112(aba)A.bBab.22

54、

55、a2(abab)2(abab)CD..2

56、aa

57、

58、

59、答案:A5.(2011福建福州质检)直角坐标系xOy,中AB(2,1),AC(3,),k若三角形ABC是直角三角形,则k的可能值的个数是()A.1B.2C.3D.4解析:ABACCB(1,1k),(1)ABAC0k6,(2)ABCB0k1,2(3)ACCB0kk30,由0.得方程无解答案:B类型一数量积的性质及运

60、算解题准备:1.数量积的运算要注意a=0时,a·b=0,但a·b=0时不能得到a=0,或b=0,因为a⊥b时,也有a·b=0.2.若a、b、c是实数,则ab=ac⇒b=c(a≠0);但对于向量,就没有这样的性质,即若向量a､b､c满足a·b=a·c(a≠0),则不一定有b=c,即等式两边不能同时约去一个向量,但可以同时乘以一个向量.【典例11】已知ABC,中

61、AB

62、5,

63、AC

64、4,

65、BC

66、3,则ABBCBCCACAAB的值是________.[]解析由已知可得BCCA,故原式ABBCCAAB2ABBCCA()

67、AB

68、

69、25.[答案]-25(2)设a､b､c是任意的非零向量,且互不共线.给出以下命题:①(a·b)c-(c·a)b=0;②

70、a

71、-

72、b

73、<

74、a-b

75、;③(b·c)a-(c·a)b不与c垂直;④(3a+2b)·(3a-2b)=9

76、a

77、2-4

78、b

79、2.其中是真命题的是________.[解析]对于①只有当向量b,c的方向相同时,二者才相等所以①错;考虑②式对应的几何意义,由三角形两边之差小于第三边知②正确;由[(b·c)a-(c·a)b]·c=0知(b·c)a-(c·a)b与c垂直,故③错;④向量的乘法运算符合多项式乘法法则,所以④正确.所以正确命题的序号

80、是②④.[答案]②④类型二利用数量积解决长度、垂直问题解题准备:常用的公式与结论有:222①aaaa或aaaa;2