《走向清华北大》2012高考总复习 精品25平面向量的数量积.doc

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1、第二十五讲　平面向量的数量积班级________　姓名________　考号________　日期________　得分________一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．设i，j是互相垂直的单位向量，向量a＝(m＋1)i－3j，b＝i＋(m－1)j，(a＋b)⊥(a－b)，则实数m的值为(　　)A．－2　　　　　　　　　B．2C．－D．不存在解析：由题设知：a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，∴a＋b＝(m＋2，m－4)，a－b＝(m，－m－2)．∵(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，∴m(m

2、＋2)＋(m－4)(－m－2)＝0，解之得m＝－2.故应选A.答案：A2．设a，b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，则必有(　　)A．a⊥bB．a∥bC．

3、a

4、＝

5、b

6、D．

7、a

8、≠

9、b

10、解析：f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，即f(x)的表达式是关于x的一次函数．而(xa＋b)·(a－xb)＝x

11、a

12、2－x2a·b＋a·b－x

13、b

14、2，故a·b＝0，又∵a，b为非零向量，∴a⊥b，故应选A.答案：A3．向量a＝(－1,1)，且a与a＋2b方向相同，则a·b的范围是(　　)A．(1，＋∞)B．(－1,1)C．(－1，＋

15、∞)D．(－∞，1)解析：∵a与a＋2b同向，∴可设a＋2b＝λa(λ>0)，5用心爱心专心则有b＝a，又∵

16、a

17、＝＝，∴a·b＝·

18、a

19、2＝×2＝λ－1>－1，∴a·b的范围是(－1，＋∞)，故应选C.答案：C4．已知△ABC中，a·b<0，S△ABC＝，

20、a

21、＝3，

22、b

23、＝5，则∠BAC等于(　　)A．30°B．－150°C．150°D．30°或150°解析：∵S△ABC＝

24、a

25、

26、b

27、sin∠BAC＝，∴sin∠BAC＝，又a·b<0，∴∠BAC为钝角，∴∠BAC＝150°.答案：C5．(精选考题·辽宁)平面上O，A，B三点不共线，设则△OAB的面积等于(　　)A.B.

28、C.D.解析：cos〈a，b〉＝，sin∠AOB＝＝，所以S△OAB＝

29、a

30、

31、b

32、sin∠AOB＝.答案：C6．(精选考题·湖南)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则等于(　　)5用心爱心专心A．－16B．－8C．8D．16解析：解法一：因为cosA＝，故cosA＝AC2＝16，故选D.解法二：在上的投影为

33、

34、cosA＝

35、

36、，故cosA＝AC2＝16，故选D.答案：D二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．(精选考题·江西)已知向量a，b满足

37、b

38、＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影是________．解析：b在

39、a上的投影是

40、b

41、cos〈a，b〉＝2cos60°＝1.答案：18．(精选考题·浙江)已知平面向量α，β，

42、α

43、＝1，

44、β

45、＝2，α⊥(α－2β)，则

46、2α＋β

47、的值是________．解析：由于α⊥(α－2β)，所以α·(α－2β)＝

48、α

49、2－2α·β＝0，故2α·β＝1，所以

50、2α＋β

51、＝＝＝.答案：9．已知

52、a

53、＝2，

54、b

55、＝，a与b的夹角为45°，要使λb－a与a垂直，则λ＝________.解析：由λb－a与a垂直，(λb－a)·a＝λa·b－a2＝0，所以λ＝2.答案：210．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，则)的最小值是________．解

56、析：令

57、

58、＝x且0≤x≤2，则

59、

60、＝2－x.＝－2(2－x)x＝2(x2－2x)＝2(x－1)2－2≥－2.∴的最小值为－2.答案：－2三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．已知

61、a

62、＝，

63、b

64、＝1，a与b的夹角为45°，求使向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角是锐角的λ的取值范围．5用心爱心专心解：由

65、a

66、＝，

67、b

68、＝1，a与b的夹角为45°，则a·b＝

69、a

70、

71、b

72、cos45°＝×1×＝1.而(2a＋λb)·(λa－3b)＝2λa2－6a·b＋λ2a·b－3λb2＝λ2＋λ－6.设向量(2a＋λb)与(λa－3

73、b)的夹角为θ，则cosθ＝>0，且cosθ≠1，∴(2a＋λb)·(λa－3b)>0，∴λ2＋λ－6>0，∴λ>2或λ<－3.假设cosθ＝1，则2a＋λb＝k(λa－3b)(k>0)，∴解得k2＝－.故使向量2a＋λb和λa－3b夹角为0°的λ不存在．所以当λ>2或λ<－3时，向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角是锐角．评析：由于两个非零向量a，b的夹角θ满足0°≤θ≤180°，所以用cosθ＝去判断θ分五种情况：cosθ＝1，θ＝0°；cosθ＝0，θ＝90°；cosθ＝－1，θ＝180°；cosθ<0且