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1、2.4平面向量的数量积[教学目标]一、知识与能力：1．掌握平面向量的数量积的物理背景及几何意义；2．掌握平面向量数量积的运算律；3．掌握平面向量数量积的坐标表示；4．能利用平面向量数量积解决有关长度、角度的问题.二、过程与方法：渗透数形结合的数学思想方法，培养学生转化问题的能力；借助物理背景，感知数学问题，探究知识的来龙去脉；培养学生转化问题的能力.三、情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题；树立学科之间相互联系、相互促进的辩证唯物主义观点.[教学重点]向量的数量积的定义及性质．[教学难点]对向量数量
2、积的定义及性质的理解和应用．[教学时数]2课时.[教学过程]第一课时一、新课引入问题：如图一个力F作用于一个物体上，使该物体位移S，（1）如何计算这个力所做的功？W=
3、S
4、
5、F
6、cosq.（2）如何从数学的角度来理解这个公式呢？q的意义是什么？
7、F
8、cosq的意义是什么？
9、S
10、cosq的意义是什么？师生活动设计：教师创设问题情境，学生积极思考，可以相互讨论.二、概念形成1．向量的数量积已知两个非零向量a与b，我们把数量
11、a
12、
13、b
14、cosq叫做a与b的数量积（或内积），记作a﹒b=
15、a
16、
17、b
18、cosq，其中q是a与b的夹角，
19、b
20、cosq叫做向量b
21、在a方向上的投影.规定，零向量与任一向量的数量积为0.数量积的几何意义：数量积a×b等于a的长度
22、a
23、与b在a的方向上的投影
24、b
25、cosq的乘积.2．数量积的性质思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正？什么时候为负？（1）a^bÛa﹒b=0；（2）当a与b同向时，a×b=
26、a
27、
28、b
29、；当a与b反向时，a×b=-
30、a
31、
32、b
33、，特别地，a×a=
34、a
35、2；（3）
36、a×b
37、£
38、a
39、
40、b
41、.例1已知
42、a
43、=5，
44、b
45、=4，a与b的夹角q=120°，求a×b.解：a×b=
46、a
47、
48、b
49、cosq=5´4´cos120°=-10.3．数量积的运算律（1）
50、a×b=b×a；（2）(la)×b=l(a×b)=a×(lb)；（3）(a+b)×c=a×c+b×c例2对于任意向量a，b证明（1）(a+b)2=a2+2a×b+b2；（2）(a+b)×(a-b)=a2-b2.证明：（1）(a+b)2=(a+b)×(a+b)=a×a+a×b+b×a+b×b=a2+2a×b+b2；（2）(a+b)(a-b)=a×a-a×b+b×a-b×b=a2-b2.三、概念加深与巩固例3判断下列说法是否正确：（1）若a=0，则对于任一向量b，有a×b=0.(Ö)（2）若a¹0，则对任一非零向量b，有a×b¹0.(´)（3）若a¹
51、0，a×b=0，则b=0.(´)（4）若a×b=0，则a，b至少有一个为零.(´)（5）若a¹0，a×b=a×c，则b=c.(´)（6）若a×b=a×c，则b=c，当且仅当a¹0时成立.(´)（7）对任意向量a、b、c，有(a×b)×c¹a×(b×c).(´)（8）对任意向量a，有a2=
52、a
53、2.(Ö)例4已知
54、a
55、=6，
56、b
57、=4，a与b的夹角为60°，求(a+2b)×(a-3b).解：(a+2b)×(a-3b)=a×a-a×b-6b×b=
58、a
59、2-a×b-6
60、b
61、2=
62、a
63、2-
64、a
65、
66、b
67、cosq-6
68、b
69、2=-72.例5已知
70、a
71、=3，
72、b
73、
74、=4，且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直？解：a+kb与a-kb互相垂直的条件是(a+kb)×(a-kb)=0,即a2-k2b2=0，∵a2=32=9，b2=42=16,∴9-16k2=9，∴k=±.练习1：向量
75、a
76、=6，a与b的夹角为120°，求a在b方向上的投影.（-3）练习2：已知
77、a
78、=8，
79、b
80、=6，a和b的夹角是60°，求a×b.(24)练习3：已知
81、a
82、=2，
83、b
84、=4，ka+b与ka-b垂直，求实数k的值.解：(ka+b)×(ka-b)=0Þk2a2-b2=0Þk2
85、a
86、2-
87、b
88、2=0Þ4k2-16=
89、0Þk=±2.四、归纳小结与作业1．平面向量的数量积的物理背景及几何意义；2．平面向量数量积的运算律.布置作业习题2.4A组1、2、3、6、7.第二课时一、复习回顾1．平面向量的数量积的物理背景及几何意义a﹒b=
90、a
91、
92、b
93、cosq，其中q是a与b的夹角；数量积的几何意义：数量积a×b等于a的长度
94、a
95、与b在a的方向上的投影
96、b
97、cosq的乘积.2．平面向量数量积的运算律.（1）a×b=b×a；（2）(la)×b=l(a×b)=a×(lb)；（3）(a+b)×c=a×c+b×c二、讲授新课1．平面向量数量积的坐标表示探究：已知两个非零向量a=(x
98、1,y1)，b=(x2,y2)，怎样用a与b的坐标表示a﹒b？∵a=x1i+y1j，b=x2i+y2j，∴a﹒b=(x1i+y1j)﹒(
