25平面向量数量积的坐标表示

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1、平面向量数量积的坐标表示（1）教学目的：⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式。⑶能用所学知识解决有关综合问题。教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用教学过程：一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与ｂ，作＝a，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a与ｂ的夹角.C2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与ｂ，它们的夹角是θ，则数量

2、a

3、

4、b

5、cosq叫a与ｂ的数量积，记作a×b，即有a×b=

6、a

7、

8、b

9、cosq，（０≤θ≤π）.并规定0

10、与任何向量的数量积为0。3．向量的数量积的几何意义：数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影

11、b

12、cosq的乘积。4．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。1）e×a=a×e=

13、a

14、cosq；2）a^bÛa×b=03）当a与b同向时，a×b=

15、a

16、

17、b

18、；当a与b反向时，a×b=-

19、a

20、

21、b

22、。特别的a×a=

23、a

24、2或4）cosq=；5）

25、a×b

26、≤

27、a

28、

29、b

30、5．平面向量数量积的运算律交换律：a×b=b×a数乘结合律：(a)×b=(a×b)=a×(b)分配律：(a+b)×c=a×c+b×c二、讲解新课：⒈平面两向量数量积的坐

31、标表示已知两个非零向量，，试用和的坐标表示。设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么，所以又，，所以这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即2.平面内两点间的距离公式（1）设，则或。（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)3.向量垂直的判定设，，则4.两向量夹角的余弦（）cosq=三、讲解范例：例1设a=(5,-7)，b=(-6,-4)，求a×b例2已知a=(-3,-2),b=(-4,k),若(5a-b)·(b-3a)=-55,试求k的值.例3已知A(1,2)，B(2,3)，C(-2,5)，求证：△

32、ABC是直角三角形。例4已知a=(3,-1)，b=(1,2)，求满足x×a=9与x×b=-4的向量x。例5已知a＝（１，），b＝（＋１，－１），则a与b的夹角是多少?例6四、课堂练习：1.若a=(-4,3),b=(5,6),则3

33、a

34、２－４a·b＝（）A.23B.57C.63D.832.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5)，则△ABC为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不等边三角形3.已知a=(4,3),向量b是垂直a的单位向量，则b等于（）A.或B.或C.或D.或反思：已知a＝（3，4），b＝（4，3），求x

35、,y的值使(xa+yb)⊥a，且｜xa+yb｜=1.分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.解：由a＝（3，4），b＝（4，3），有xa+yb=(3x+4y,4x+3y)又（xa+yb）⊥a(xa+yb)·a＝０3(3x+4y)+4(4x+3y)=0即25x+24y＝０①又｜xa+yb｜=1｜xa+yb｜２＝１（３x+4y）２＋（４x+3y）２＝１整理得：25x２＋48xy+25y２＝１即x(25x+24y)+24xy+25y２＝１②由①②有24xy+25y２＝１③将①变形代入③可得：y=±再代回①得：平面向量数量积的坐标表示（2）教学目的：⑴要求学生掌

36、握平面向量数量积的坐标表示⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式。⑶能用所学知识解决有关综合问题。教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用教学过程：一、复习引入：1．两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。，2.平面内两点间的距离公式（1）设，则或。（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)3.向量垂直的判定设，，则4.两向量夹角的余弦（）cosq=二、例题例1设向量a、b满足

37、a

38、=

39、b

40、=1,

41、3a-2b

42、=3求

43、3a+b

44、的值.例2已知a、b均为非零

45、向量，且a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直.求a与b的夹角.例3若P是正方形ABCD对角线BD上一点，E、F分别在边BC、CD上，且PFCE是矩形，试用向量法证明：例4已知平行四边形以为两边.（1）求它的两边长和夹角；（2）它的对角线的长和夹角.例5以原点和A(5,2)为顶点作等腰直角△OAB，使ÐB=90°，求点B和向量的坐标。例6在△ABC中，=(2,3)，=(1,k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值。三、课堂练习：1.a=(2,3),b=(-2,4),则(a+b)·(a-b)=.2.已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x,-)在

46、线段AB的中垂线上，则x