高中数学必修4平面向量课件--向量的数乘.ppt

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1、2021/9/9向量的加法(三角形法则)如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.ab作法:在平面中任取一点o,aAbBa+b过O作OA=a则OB=a+b.过A作AB=b复习回顾o向量共线时的加法复习回顾向量的加法(平行四边形法则)如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.a作法:在平面中任取一点o,oaAbBb以OA,OB为边作平行四边形a+bC过O作OA=a过O作OB=b则对角线OC=a+b复习回顾向量的减法(三角形法则）如图,已知向量a和向量b,作向量a-b.ab作法:在平面中任取一点o,oaAbBa-

2、b过O作OA=a过O作OB=b则BA=a-b复习回顾位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系，常常在物理公式中出现，如力与加速度的关系F=ma，位移与速度的关系s=vt，这些公式都是实数与向量间的关系、实数与实数可以进行加法、减法、求积等运算，实数与向量能否进行加法、减法、求积运算呢？若能进行运算，运算的规则又如何呢？引入新课§2.1.4向量数乘高中数学4=ABCD++(-)(-)(-)-ABCD++＝相同向量相加后,和的长度与方向有什么变化?想一想aaaOABC3a

3、-3a-a-a-aPQMNa定义：一般地，实数λ与向量a的乘积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘运算，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)

4、λa

5、=

6、λ

7、

8、a

9、(2)当λ>0时,λa的方向与a方向相同；当λ<0时,λa的方向与a方向相反；特别地，当λ=0或a=0时,λa=01.a≠0λa中实数的λ,叫做向量a的系数？2.数乘向量的几何意义数乘向量的几何意义就是把向量沿的方向或反方向放大或缩短.若,当沿的方向放大了倍.当沿的方向缩短了倍.当,沿的反方向放大了倍.当沿的反方向缩短了倍.由其几何意义可以看出

10、用数乘向量能解决几何中的相似问题.λa复习回顾:实数乘法的运算律1、交换律：ab=ba2、结合律：a(bc)=(ab)c=b(ac）3、分配律：a(b+c）=ab+ac一般地:=一般地:一般地：运算律：设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：①λ(μa)=(λμ)a(结合律)②(λ+μ)a=λa+μa(第一分配律)③λ(a+b)=λa+λb(第二分配律)对于任意的向量以及任意实数恒有向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。基础知识反馈C.A.B.(2).设是非零向量,是非零实数,下列结论正确的是(

11、).D.(1).下列四个说法正确的个数有().B.2个A.1个C.3个D.4个BC例1计算下列各式(2)(3)例题分析计算下列各式反馈演练例2设未知向量,解方程5(+)+3(-)=0解:原式可变形为5+5+3-3=0反馈演练:教材95页练习A第3题答案:(1)(2)(3)例题分析例３:若3m+2n=a,m-n=b,其中,b是已知向量,求m,n分析:此题可把已知条件看作向量的方程,通过解方程组获得解：记　①，②3②得③①-③得例题分析练习:已知a与b,且2x-y=a,x+2y=b,求x,y例4如图所

12、示，已知　　　说明向量与的关系．解：因为所以，与共线同方向，长度是的3倍oAB例题分析问题:如果把3都换成k(不为0),结论会有什么变化?反馈演练：1.在中,设D为边ＢＣ的中点,求证:ＡＢＣＤ解：因为（２）所以，所证等式成立ＡＢＣＤE过点B作BE,使连接CE则四边形ABCD是平行四边形,D是BC中点，则D也是AE中点.由向量加法平行四边形法则有解2:例４:如图，在中,延长BA到C,使AC=BA,在OB上取点D,使BD=OB.DC与OA交于E,设请用.ECODBA分析:解题的关键是建立的联系，为此需要利用向

13、量的加、减法数乘运算。解：因为A是BC的中点，所以例题分析ba练习（C）分析:由所以在平行四边形ABCD中,,M为BC的中点,则等于＿＿＿＿＿＿(1)(2)ABCDFEDCBAO(3)如图,已知正六边形ABCDEF中,则等于()练习若其中为已知向量，则未知向量　＿＿＿＿.已知向量求满足方程组的(4)(5)D（1）向量数乘的定义（2)向量数乘的运算律一般地，实数λ与向量a的乘积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘运算，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)

14、λa

15、=

16、λ

17、

18、a

19、(2)当λ>0时,λa的方向与

20、a方向相同；当λ<0时,λa的方向与a方向相反；特别地，当λ=0或a=0时,λa=0a0设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：①λ(μa)=(λμ)a(结合律)②(λ+μ)a=λa+μa(第一分配律)③λ(a+b)=λa+λb(第二分配律)（３）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。小结回顾(1)若　则化简补充练习：(2)如图,梯形ABCD中，AB//DC,且AB=2CD,E,F分别是DC,AB的中点，设=a,=b