曲线积分与曲面积分对面积的曲面积分.ppt

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1、第四节对面积的曲面积分对面积的曲面积分的概念与性质二对面积的曲面积分的计算法1一对面积的曲面积分的概念与性质引例:设曲面形构件具有连续面密度类似求平面薄板质量的思想,采用可得求质“大化小,常代变,近似和,求极限”的方法,量M.其中,表示n小块曲面的直径的最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).2定义:设为有界光滑曲面,“乘积和式极限”都存在,的曲面积分其中f(x,y,z)叫做被积据此定义,曲面形构件的质量为曲面面积为f(x,y,z)是定义在上的一个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对做任意分割和局部区域则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面上对面积

2、函数,叫做积分曲面.任意取点,叫做曲面面积元素。3则对面积的曲面积分存在.•对积分域的可加性.则有•线性性质.在有界光滑曲面上对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.•积分的存在性.若是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面连续,4二对面积的曲面积分的计算法定理:设有光滑曲面f(x,y,z)在上连续,存在,则曲面证明:由定义知积分且有5则(光滑)取6同理如果7例1.计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.解:8例2.计算其中是由平面坐标面所围成的四面体的表面.解:设上的部分,则与原式=分别表示在平面9例3计算其中是介于平面之间的圆柱面解在上原式10例4计

3、算其中是由平面围成的正八面体的表面.解设由对称性得11例5求抛物面壳的质量,此壳的面密度的大小为解12例5求均匀半球壳的形心.解由对称性半球壳的面积13三积分的统一定义定义设Q为一可以度量的有界的几何形状，定义在Q上的有界函数，（其度量仍记为作和式记当时，和式的极限存在（与Q的划分，点在取法无关），则称此极限为函数在Q上的积分，记为即如果将Q任意分割成n个小的可以度量的几何形状在每个上任取一点1415