曲线积分与曲面积分.ppt

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1、曲线积分与曲面积分【例11.1】设平面曲线为下半圆周，则曲线积分解：的方程又可写成被积函数在上取值，于是，原积分(半径为1的半圆周长)方法二，写出的参数方程方法一，则【例11.2】计算其中是曲线从A（1,0）到B（2,0）的一段弧【解析】选y为参数x=1-y:【例11.3】设是平面在第一卦线上的部分，则解析：因为所以【例11.4】设其中是介于和下侧.解：取下侧故曲线上任意一点处法向量所以【例11.5】设是由锥面与半球面围城的空间区域，是的整个边界的外围，则【解析】以表示由与半球面所围成的有界闭区

2、域，有高斯公式得【例11.6】计算曲线积分其中L是第一象限内从点A(0,1)到点B(1,0)的单位圆弧【解析】则【例11.7】计算其中L为抛物线上从点A（1，-1）到点B(1,1)的一段弧【解析】将所给积分化为对y的定积分来计算，则【例11.8】计算曲线积分其中L是以点（1,0）为中心的，R为半径的圆周（R>1),取逆时针方向。【解析】记:且P(x,y)与Q（x,y)满足作足够小的椭圆：则由复连同域上格林公式有备注：本题的方法叫“挖洞法”设P(x,y),Q(x,y)在以L为边界线的闭区域D内除外

3、有一阶连续偏导数，且则【例11.9】设函数f(u)具有连续的一阶导数，点A(1,1),B(3,3),为以为直径的左上半个圆弧，从A到B，求【解析】设P=由题意：添直线段自B至A,记为3）备注：添加辅助线构成闭曲线其中L+构成正向闭合曲线，P,Q所在L+所围成闭曲线内具有连续一阶偏导数。【例11.10】计算【解析】设为锥面为z=1上部分，在xoy面投影为则所以【例11.11】计算之间部分下侧【解析】原式=-【例11.12】计算曲面积分其中是由曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，其法向量与y轴正向的夹角恒

4、大于【解析】积分曲线的方程为添加曲面其法向量与y轴正向相同，设所围成的闭区域为，则有其中D（y）:3)注：添加:辅助曲面构成闭曲面其中构成闭曲面指向的外侧【例11.13】计算的上侧。【解析】添加构成封闭曲面令所以原式=【例11.14】计算被三个坐标面所截成的三角形的整个边界，它的方向与这个三角形上侧的法向量间符合右手规则。【解析】令由Stokes公式：其中【例11.15】设有数量场【解析】于是