应用经济数学 教学课件 ppt 作者 冯翠莲 401.ppt

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1、第四章积分及其应用目标1.理解定积分与不定积分概念..2.会用积分的换元积分法和分部积分法.3．会用积分的换元积分法和分部积分法.4．了解无限区间上反常积分的定义.§4.1定积分概念与性质4.1.1定积分定义4.1.2定积分的几何意义4.1.3定积分的性质引出定积分概念的例题案例曲边梯形的面积过去我们学过求规则图形面积，如正方形、长方形、三角形、梯形、圆等。对于不规则图形，如右图：由曲线所围成的图形的面积该怎么求呢？4.1.1定积分定义4.1.1定积分定义如左图，将其放入平面直角坐标系中设曲线方程

2、为,用若干条平行于X轴及Y轴的直线将图形分为若干个小图形，所求面积应为被分割的所有小面积之和。其中，中间部分为长方形，可求出其面积关键是边上的这些不规则图形的面积怎么求，如果求出，所要求的大的不规则图形面积也即求出我们分析A：A由三条直线和一条曲线围成，其中两条直线互相平行，第三条直线与这两条直线垂直，另一边为曲线，称这样的图形为曲边梯形问题转化为求曲边梯形面积abxyo问题的提出----求曲边梯形的面积4.1.1定积分定义（四个小矩形）（九个小矩形）abxyoabxyo4.1.1定积分定义如图,

3、设曲边梯形是由连续曲线轴与两直线、所围成的。（一）分割分以下三部完成在区间中任意插入个分点将区间分成个小区间它们的长度依次为：过每个分点作轴的垂线，把曲边梯形分成个窄曲边梯形用表示所求曲边梯形的面积，表示第个小曲边梯形面积，则有：4.1.1定积分定义（二〕求和作和式：则是的一个近似值。在每个小区间内取一点,过点作轴的垂线与曲边交于,以为底，为高作矩形，其面积为:以该面积作为第个窄曲边梯形面积的近似值即：4.1.1定积分定义（三）取极限动态描述为保证所有小区间的长度都无限缩小，用表示所有小区间中最大

4、区间的长度，则上述条件可表示为，当时（此时分点数无限增多，即），总和的极限就定义为曲边梯形的面积,即4.1.1定积分定义设函数在区间内有定义，用点将区间分成个小区间：它们的长度依次为：在每个小区间上任取一点则乘积称为积分元素。总和称为积分和。如果当无限增大，而中最大者时，总和的极限存在，且此极限与的分法以及的取法无关，则称函数在区间上是可积的，并将此极限值称为函数在区间上的定积分，记为：定积分的定义4.1.1定积分定义由定积分定义知：积分上限积分下限被积表达式被积函数积分变量曲边梯形面积是曲边方程

5、在区间上的定积分，即：案例：4.1.1定积分定义由定积分定义知：积分上限积分下限交换定积分的上下限，定积分变号，即特别：当时：定积分是一个数值，该数值取决于被积函数和积分区间，与积分变量无关，即4.1.2定积分的几何意义abAy=ƒ(x)oxy定积分的几何意义(曲边梯形的面积)X4.1.2定积分的几何意义absy=ƒ(x)oxy定积分的几何意义(曲边梯形的面积)abAy=ƒ(x)oxy定积分的几何意义(曲边梯形的面积)4.1.2定积分的几何意义abAy=ƒ(x)oxy定积分的几何意义(曲边梯形的面

6、积)4.1.2定积分的几何意义abAy=ƒ(x)oxy定积分的几何意义(曲边梯形的面积)4.1.2定积分的几何意义4.1.2定积分的几何意义abAy=ƒ(x)oxy定积分的几何意义(曲边梯形的面积)4.1.2定积分的几何意义返回aby=ƒ(x)oxyA定积分的几何意义(曲边梯形的面积)4.1.2定积分的几何意义aboyx1A4.1.2定积分的几何意义aboyxA4.1.2定积分的几何意义如图，则图中阴影部分的面积为4.1.2定积分的几何意义上半单位圆的面积为由定积分的几何意义，该面积就是作为曲边的

7、函数在区间上的定积分，即4.1.2定积分的几何意义由定积分的几何意义，该面积就是作为直线的函数在区间上的定积分，即该三角形的面积为4.1.3定积分的性质性质2代数和的积分，等于积分的代数和性质3[定积分对区间的可加性]对任意三个数a,b,c,总有性质1常数因子可提到积分符号前4.1.3定积分的性质解由定积分对区间的可加性知，用几何图形说明等式成立又由定积分的几何意义从而由图形可得，4.1.3定积分的性质解由定积分对区间的可加性知，用几何图形说明等式成立又由定积分的几何意义从而由图形可得，4.1.3

8、定积分的性质若是奇函数，即则结论若是偶函数，即则4.1.3定积分的性质性质4[比较性质]若函数和在闭区间上总有，则O4.1.3定积分的性质比较下列积分值的大小故由定积分的比较性质，有由图形可得解如图，在区间上，有