应用经济数学 教学课件 ppt 作者 冯翠莲 204.ppt

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1、§2.4导数与微分概念2.4.1导数定义2.4.2导数的几何意义2.4.3微分定义设函数，为曲线上一定点，在其邻近再取曲线上另一点，作割线，与轴正向夹角为曲线的切线斜率2.4.1导数定义曲线的切线斜率2.4.1导数定义当时，沿曲线趋向于，割线的位置也随这变动而趋向于极限位置---切线。此切线的斜率为：即曲线的切线斜率y=ƒ(x)oxyT切线曲线的切线斜率y=ƒ(x)oxyT切线T’‘割线曲线的切线斜率y=ƒ(x)oxyT切线T’‘割线曲线的切线斜率y=ƒ(x)oxyT切线T’‘割线曲线的切线斜率y=ƒ(x)oxyT切线T’‘割线曲线的切线斜率y=

2、ƒ(x)oxyT切线T’‘割线曲线的切线斜率y=ƒ(x)oxyT切线问题的总结上例可归纳为以下三个步骤：第一步，求对应于自变量改变量的函数改变量；第二步，计算函数改变量与自变量改变量的比；第三步，求当自变量改变量趋于零时这个比的极限，此极限称为函数的变化率。函数的变化率在数学上称为导数，下面给出导数的定义。2.4.1导数定义函数在点处的导数定义设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在点处取得改变量时，函数取得相应改变量若当时，的极限存在，即存在，则称函数在点处可导，并称此极限为函数在点处的导数，记为：或或或xxfxxfxyxoxD-D+=DD®D

3、®D)()(limlim0002.4.1导数定义练习1求函数在点处的导数。解：当由变到时，相应函数的改变量为：对于内任一点，都有唯一确定的与之相对应。2.4.1导数定义函数在区间的导函数定义2.4.1导数定义若函数在区间内每一点都可导，则对于每一个都有的一个导数值与之对应，这样就得到一个定义在上的函数，称为函数的导函数，记作或或或即显然2.4.1导数定义练习2求函数的导数，并求解：对任意点，当自变量的改变量为时，因变量相应的改变量由导函数再求指定点的导数值2.4.1导数定义练习3求常量函数的导数解：对任意点，当自变量的改变量为时，则总有于是即常数

4、的导数等于零导数的几何意义导数的几何意义2.4.2导数的几何意义在几何上表示曲线在点处的切线斜率，即2.4.2导数的几何意义在几何上表示曲线在点处的切线斜率，即曲线在点处的切线方程为2.4.2导数的几何意义解：由于练习4求曲线在点处的切线方程所以，曲线在点处的切线方程为或2.4.3微分定义微分定义设函数在点可导，自变量在点的改变量为，乘积称为函数在点的微分，这时，也称函数在点可微.函数的微分记作，即.通常把自变量的改变量称为自变量的微分，记作，即.于是函数的微分，一般记作.即函数的微分等于函数的导数与自变量的微分的乘积.2.4.2导数的几何意义练

5、习5求函数的微分解：先求导数.由幂函数的导数公式于是，函数的微分为